Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

54 Глава 4. Непрерывные функции
Теорема 3. Пусть ∃ lim
x→x
0
f(x) = y
0
. Пусть ϕ опреде-
лена на
˚
U(t
0
), ϕ(
˚
U(t
0
)) 63 x
0
и ∃ lim
t→t
0
ϕ(t) = x
0
.
Тогда
∃ lim
t→t
0
(f ◦ g)(t) = y
0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доопределим (переопределим)
функцию f в точке x
0
, положив f(x
0
) = y
0
. Остается вос-
пользоваться теоремой 2.
§ 4.3. Односторонняя непрерывность и точки
разрыва
Напомним, что U(x
0
+0), x
0
∈ R, означает полуинтервал
[x
0
, x
0
+ δ) при некотором δ > 0.
Определение. Функция f, определенная на U(x
0
+
+ 0) (U(x
0
− 0)), называется непрерывной справа (слева)
в точке x
0
, если
∃f(x
0
+ 0) = f(x
0
) (∃f(x
0
− 0) = f(x
0
)).
Упражнение 1. Доказать, что функция f непрерывна
в точке x
0
тогда и только тогда, когда она непрерывна в
x
0
справа и слева.
Определение. Функция f : X → R, X ⊃
˚
U(x
0
), x
0
∈ R,
называется разрывной в точке x
0
, если она не определена
в x
0
или если определена в x
0
, но не является непрерывной
в x
0
.
Определение. Точка x
0
разрыва функции f называ-
ется точкой разрыва I-го рода, если существуют конечные
пределы f (x
0
− 0), f(x
0
+ 0). При этом разность f(x
0
+
+ 0) − f(x
0
− 0) называется скачком функции f в точке
x
0
. Если при этом f(x
0
+ 0) = f (x
0
− 0), т. е. скачок равен
нулю, то x
0
называется точкой устранимого разрыва.
Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва I-го
рода, называется точкой разрыва II-го рода.
54                Глава 4. Непрерывные функции

     Теорема 3. Пусть ∃ lim f (x) = y0 . Пусть ϕ опреде-
                                x→x0
лена на Ů (t0 ), ϕ(Ů (t0 )) 63 x0 и ∃ lim ϕ(t) = x0 .
                                       t→t0
     Тогда
                       ∃ lim (f ◦ g)(t) = y0 .
                         t→t0
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Доопределим (переопределим)
функцию f в точке x0 , положив f (x0 ) = y0 . Остается вос-
пользоваться теоремой 2.

  § 4.3. Односторонняя непрерывность и точки
                    разрыва
     Напомним, что U (x0 +0), x0 ∈ R, означает полуинтервал
[x0 , x0 + δ) при некотором δ > 0.
   Определение. Функция f , определенная на U (x0 +
+ 0) (U (x0 − 0)), называется непрерывной справа (слева)
в точке x0 , если
          ∃ f (x0 + 0) = f (x0 )   (∃ f (x0 − 0) = f (x0 )).
   Упражнение 1. Доказать, что функция f непрерывна
в точке x0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в
x0 справа и слева.
   Определение. Функция f : X → R, X ⊃ Ů (x0 ), x0 ∈ R,
называется разрывной в точке x0 , если она не определена
в x0 или если определена в x0 , но не является непрерывной
в x0 .
     Определение. Точка x0 разрыва функции f называ-
ется точкой разрыва I-го рода, если существуют конечные
пределы f (x0 − 0), f (x0 + 0). При этом разность f (x0 +
+ 0) − f (x0 − 0) называется скачком функции f в точке
x0 . Если при этом f (x0 + 0) = f (x0 − 0), т. е. скачок равен
нулю, то x0 называется точкой устранимого разрыва.
     Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва I-го
рода, называется точкой разрыва II-го рода.

Страницы