Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

52 Глава 4. Непрерывные функции
Возьмем ε =
d
2
> 0. Тогда, по определению (3) непрерыв-
ности, существует δ > 0 такое, что |f(x) − f(x
0
)| <
d
2
при
|x −x
0
| < δ, откуда следует, что
f(x) = f(x
0
) +(f(x)−f(x
0
)) > d−
d
2
=
d
2
> 0 при x ∈ U
δ
(x
0
).
Теорема 2 (свойства непрерывных функций).
Пусть функции f, g непрерывны в точке x
0
. Тогда функ-
ции f + g, f − g, fg, а при g(x
0
) 6= 0 — и
f
g
непрерывны в
точке x
0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что (f ± g)(x) B
B f(x) ± g(x). Аналогично определяются произведение и
частное двух функций. Докажем лишь, что
f
g
непрерывна
в x
0
(для f ± g и fg доказательства аналогичны).
По предыдущей теореме, ∃U(x
0
): sign g(x) = sign g(x
0
),
так что g(x) 6= 0 при x ∈ U(x
0
) и частное
f
g
определено
на U (x
0
). Имеем теперь, используя свойства пределов и
непрерывность f, g:
lim
x→x
0
f
g
(x) = lim
x→x
0
f(x)
g(x)
=
lim
x→x
0
f(x)
lim
x→x
0
g(x)
=
f(x
0
)
g(x
0
)
=
f
g
(x
0
),
что и требовалось показать.
§ 4.2. Предел и непрерывность сложной
функции
Пусть функция f определена на X, а функция ϕ — на T ,
причем ϕ(T ) ⊂ X. Тогда сложная функция (суперпозиция,
композиция) f ◦ ϕ определяется на T формулой
(f ◦ϕ)(t) = f(ϕ(t)), t ∈ T.
52               Глава 4. Непрерывные функции

Возьмем ε = d2 > 0. Тогда, по определению (3) непрерыв-
ности, существует δ > 0 такое, что |f (x) − f (x0 )| < d2 при
|x − x0 | < δ, откуда следует, что
                                       d  d
f (x) = f (x0 )+(f (x)−f (x0 )) > d−     = > 0 при x ∈ Uδ (x0 ).
                                       2  2

   Теорема 2 (свойства непрерывных функций).
Пусть функции f , g непрерывны в точке x0 . Тогда функ-
ции f + g, f − g, f g, а при g(x0 ) 6= 0 — и fg непрерывны в
точке x0 .
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что (f ± g)(x) B
B f (x) ± g(x). Аналогично определяются произведение и
частное двух функций. Докажем лишь, что fg непрерывна
в x0 (для f ± g и f g доказательства аналогичны).
   По предыдущей теореме, ∃ U (x0 ): sign g(x) = sign g(x0 ),
так что g(x) 6= 0 при x ∈ U (x0 ) и частное fg определено
на U (x0 ). Имеем теперь, используя свойства пределов и
непрерывность f, g:
                          lim f (x)              
      f            f (x)   x→x0         f (x0 )    f
 lim     (x) = lim       =            =         =     (x0 ),
x→x0 g        x→x0 g(x)     lim g(x)    g(x0 )     g
                               x→x0

что и требовалось показать.

     § 4.2. Предел и непрерывность сложной
                     функции
   Пусть функция f определена на X, а функция ϕ — на T ,
причем ϕ(T ) ⊂ X. Тогда сложная функция (суперпозиция,
композиция) f ◦ ϕ определяется на T формулой
                 (f ◦ ϕ)(t) = f (ϕ(t)),    t ∈ T.

Страницы