Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

50 Глава 3. Предел функции
e) позднее будет показано, что при x → 0
x ∼ sin x ∼ tg x ∼ arcsin x ∼ arctg x ∼ ln(1 + x) ∼ e
x
− 1.
Определение. Функция g называется бесконечно ма-
лой по сравнению с функцией f при x → a (записывается
g = o(f) при x → a), если g(x) = ε(x)f(x), x ∈
˚
U(a), причем
lim
x→a
ε(x) = 0.
Если при этом функции f, g являются бесконечно ма-
лыми при x → a, то говорят, что функция g является бес-
конечно малой более высокого порядка, чем функция f .
Запись α(x) = o(1) при x → a означает согласно опре-
делению, что α(x) — бесконечно малая функция при x → a.
Примеры.
a) x
2
= o(x) при x → 0;
b) x = o(x
2
) при x → +∞.
З а м е ч а н и е 1. Последние три определения
наиболее содержательны, когда f и g — бесконечно малые
или бесконечно большие функции.
Теорема. Пусть f ∼ f
1
, g ∼ g
1
, при x → a. Если суще-
ствует lim
x→a
f
1
(x)
g
1
(x)
, то существует и lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f
1
(x)
g
1
(x)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что
f
g
=
λ
1
f
1
λ
2
g
1
=
λ
1
λ
2
f
1
(x)
g
1
(x)
и что
lim
x→a
λ
1
(x)
λ
2
(x)
= 1.
Пример.
lim
x→0
e
x
− 1
sin x
= lim
x→0
x
x
= 1.
50                   Глава 3. Предел функции

e) позднее будет показано, что при x → 0
     x ∼ sin x ∼ tg x ∼ arcsin x ∼ arctg x ∼ ln(1 + x) ∼ ex − 1.
   Определение. Функция g называется бесконечно ма-
лой по сравнению с функцией f при x → a (записывается
g = o(f ) при x → a), если g(x) = ε(x)f (x), x ∈ Ů (a), причем
lim ε(x) = 0.
x→a
   Если при этом функции f , g являются бесконечно ма-
лыми при x → a, то говорят, что функция g является бес-
конечно малой более высокого порядка, чем функция f .
   Запись α(x) = o(1) при x → a означает согласно опре-
делению, что α(x) — бесконечно малая функция при x → a.
   Примеры.
a) x2 = o(x) при x → 0;
b) x = o(x2 ) при x → +∞.
   З а м е ч а н и е 1. Последние три определения
наиболее содержательны, когда f и g — бесконечно малые
или бесконечно большие функции.
     Теорема. Пусть f ∼ f1 , g ∼ g1 , при x → a. Если суще-
             f (x)                         f (x)      f (x)
ствует lim g1 (x) , то существует и lim g(x) = lim g1 (x) .
       x→a 1                            x→a     x→a 1
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что
                      f     λ1 f1    λ1 f1 (x)
                        =         =
                      g     λ2 g1    λ2 g1 (x)
и что
                               λ1 (x)
                          lim         = 1.
                         x→a λ2 (x)
   Пример.
                         ex − 1         x
                    lim           = lim = 1.
                    x→0 sin x       x→0 x

Страницы