Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 4
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 4.1. Непрерывность функции в точке
Будем считать, что функция f определена на U(x
0
),
x
0
∈ R, ∆f = ∆f(x
0
) = f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
), ∆x = x −
− x
0
.
Определения. Функция f называется непрерывной
в точке x
0
, если выполняется какое-либо из следующих
условий:
(1) lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
);
(2) lim
∆x→0
∆f = 0 ( lim
∆x→0
≡ lim
x→x
0
);
(3) для ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0: |f (x) − f(x
0
)| < ε ∀x: |x −
− x
0
| < δ;
(4) для ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0: f(U
δ
(x
0
)) ⊂ U
ε
(f(x
0
));
(5) для ∀U (f(x
0
)) ∃U(x
0
): f(U(x
0
)) ⊂ U (f(x
0
));
(6) для ∀{x
n
}: x
n
∈ U(x
0
), x
n
→ x
0
(n → ∞) имеет место
f(x
n
) → f(x
0
) (n → ∞).
Эквивалентность определений (1) – (6) следует из экви-
валентности соответствующих определений предела функ-
ции.
Обратим внимание на то, что в определении (6) не за-
прещается x
n
совпадать с x
0
. При добавлении в опреде-
ление (6) условия x
n
6= x
0
оно меняется на эквивалентное.
В определении (3) не запрещается x совпадать с x
0
.
Теорема 1 (о сохранении знака). Пусть f непре-
рывна в x
0
, f(x
0
) 6= 0. Тогда ∃U(x
0
): sign f(x) = sign f (x
0
)
∀x ∈ U(x
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Непрерывность в точке x
0
озна-
чает, в частности, что f определена на некоторой окрест-
ности точки x
0
. Пусть, для определенности, f(x
0
) = d > 0.
              Глава 4
       НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

      § 4.1. Непрерывность функции в точке
   Будем считать, что функция f определена на U (x0 ),
x0 ∈ R, ∆f = ∆f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ), ∆x = x −
− x0 .
   Определения.          Функция f называется непрерывной
в точке x0 , если выполняется какое-либо из следующих
условий:
(1) lim f (x) = f (x0 );
    x→x0
(2) lim ∆f = 0 ( lim ≡ lim );
    ∆x→0            ∆x→0     x→x0
(3) для ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0: |f (x) − f (x0 )| < ε ∀ x: |x −
    − x0 | < δ;
(4) для ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0: f (Uδ (x0 )) ⊂ Uε (f (x0 ));
(5) для ∀ U (f (x0 )) ∃ U (x0 ): f (U (x0 )) ⊂ U (f (x0 ));
(6) для ∀ {xn }: xn ∈ U (x0 ), xn → x0 (n → ∞) имеет место
    f (xn ) → f (x0 ) (n → ∞).
    Эквивалентность определений (1) – (6) следует из экви-
валентности соответствующих определений предела функ-
ции.
    Обратим внимание на то, что в определении (6) не за-
прещается xn совпадать с x0 . При добавлении в опреде-
ление (6) условия xn 6= x0 оно меняется на эквивалентное.
В определении (3) не запрещается x совпадать с x0 .
    Теорема 1 (о сохранении знака). Пусть f непре-
рывна в x0 , f (x0 ) 6= 0. Тогда ∃ U (x0 ): sign f (x) = sign f (x0 )
∀ x ∈ U (x0 ).
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Непрерывность в точке x0 озна-
чает, в частности, что f определена на некоторой окрест-
ности точки x0 . Пусть, для определенности, f (x0 ) = d > 0.

Страницы