Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4.2. Предел и непрерывность сложной функции 53
Теорема 1. Пусть f непрерывна в точке x
0
, ϕ непре-
рывна в точке t
0
, ϕ(t
0
) = x
0
. Тогда f ◦ ϕ непрерывна в
точке t
0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y
0
= f(x
0
), U(y) — про-
извольная окрестность y
0
. В силу непрерывности f в x
0
∃U(x
0
) : f(U(x
0
)) ⊂ U(y
0
)
(это означает, в частности, что f определена на U(x
0
)).
В силу непрерывности ϕ в точке t
0
∃U(t
0
): ϕ(U(t
0
)) ⊂
⊂ U (x
0
).
Последнее означает, в частности, что ϕ определе на на
U(t
0
) и значения ее в точках U(t
0
) лежат в U(x
0
). Следова-
тельно, на U(t
0
) определена сложная функция f ◦g, причем
(f ◦g)(U(t
0
)) ⊂ U(y
0
), где y
0
= (f ◦ g)(t
0
).
В силу произвольности U(y
0
) это означает непрерывность
f ◦g в точке t
0
(см. определение (5) непрерывности).
Установим теперь две теоремы о пределе сложной функ-
ции.
Теорема 2. Пусть f непрерывна в точке x
0
, ϕ опреде-
лена на
˚
U(t
0
) и ∃ lim
t→t
0
ϕ(t) = x
0
.
Тогда
∃ lim
t→t
0
(f ◦g)(t) = f( lim
t→t
0
ϕ(t)) = f(x
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассуждая так же, как при до-
казательстве теоремы 1, приходим к тому, что для ∀U (y
0
)
∃U(t
0
): (f ◦ g)(
˚
U(t
0
)) ⊂ U(y
0
), y
0
= f(x
0
).
В силу произвольности U(y
0
) это означает, что утвер-
ждение теоремы доказано.
Другое доказательство теоремы состоит в следующем.
Доопределим функцию ϕ в точке t
0
(или переопределим ее,
если она изначально была определена в t
0
), положив ϕ(t
0
) =
= x
0
. Тогда ϕ становится непрерывной в точке t
0
, и оста-
ется воспользоваться теоремой 1.
      § 4.2. Предел и непрерывность сложной функции              53

   Теорема 1. Пусть f непрерывна в точке x0 , ϕ непре-
рывна в точке t0 , ϕ(t0 ) = x0 . Тогда f ◦ ϕ непрерывна в
точке t0 .
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y0 = f (x0 ), U (y) — про-
извольная окрестность y0 . В силу непрерывности f в x0
                 ∃ U (x0 ) : f (U (x0 )) ⊂ U (y0 )
(это означает, в частности, что f определена на U (x0 )).
В силу непрерывности ϕ в точке t0 ∃ U (t0 ): ϕ(U (t0 )) ⊂
⊂ U (x0 ).
    Последнее означает, в частности, что ϕ определена на
U (t0 ) и значения ее в точках U (t0 ) лежат в U (x0 ). Следова-
тельно, на U (t0 ) определена сложная функция f ◦ g, причем
       (f ◦ g)(U (t0 )) ⊂ U (y0 ),    где   y0 = (f ◦ g)(t0 ).
В силу произвольности U (y0 ) это означает непрерывность
f ◦ g в точке t0 (см. определение (5) непрерывности).
    Установим теперь две теоремы о пределе сложной функ-
ции.
   Теорема 2. Пусть f непрерывна в точке x0 , ϕ опреде-
лена на Ů (t0 ) и ∃ lim ϕ(t) = x0 .
                     t→t0
   Тогда
           ∃ lim (f ◦ g)(t) = f ( lim ϕ(t)) = f (x0 ).
              t→t0                   t→t0

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассуждая так же, как при до-
казательстве теоремы 1, приходим к тому, что для ∀ U (y0 )
∃ U (t0 ): (f ◦ g)(Ů (t0 )) ⊂ U (y0 ), y0 = f (x0 ).
    В силу произвольности U (y0 ) это означает, что утвер-
ждение теоремы доказано.
    Другое доказательство теоремы состоит в следующем.
Доопределим функцию ϕ в точке t0 (или переопределим ее,
если она изначально была определена в t0 ), положив ϕ(t0 ) =
= x0 . Тогда ϕ становится непрерывной в точке t0 , и оста-
ется воспользоваться теоремой 1.

Страницы