Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке 55
§ 4.4. Свойства функций, непрерывных
на отрезке
Определение 1. Функция, определенная на отрезке
[a, b] и непрерывная в каждой его точке, называется непре-
рывной на этом отрезке. При этом под непрерывностью
в точках a, b понимается соответственно непрерывность
справа и слева.
Аналогично определяется непрерывность на интервале,
на полуинтервале.
Определение 2. Будем говорить, что функция f, опре-
деленная на E, достигает своей верхней (нижней) грани,
если
∃x
0
∈ E : f(x
0
) = sup
E
f (f(x
0
) = inf
E
f).
Теорема 1 (Вейерштрасса). Функция, непрерывная
на отрезке, ограничена и достигает своих верхней и нижней
граней.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть B B sup
[a,b]
f 6 +∞. По
определению верхней грани
∀n ∈ N ∃x
n
∈ [a, b] : f(x
n
) ∈ U
1
n
(B).
Следовательно, f(x
n
) → B при n → ∞.
Последовательность {x
n
} ограничена, так как
a 6 x
n
6 b ∀n ∈ N. По теореме Больцано–Вейерштрасса
выделим из нее сходящуюся подпоследовательность {x
n
k
},
x
n
k
→ x
0
при k → ∞.
Переходя к пределу в неравенстве a 6 x
n
k
6 b, полу-
чаем, что x
0
∈ [a, b]. В силу непрерывности функции f в
точке x
0
имеем
f(x
n
k
) → f(x
0
) при k → ∞.
С другой стороны, {f(x
n
k
)} — подпоследовательность схо-
дящейся к B последовательности. Поэтому f(x
n
k
) → B при
k → ∞.
     § 4.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке    55

     § 4.4. Свойства функций, непрерывных
                   на отрезке
     Определение 1. Функция, определенная на отрезке
[a, b] и непрерывная в каждой его точке, называется непре-
рывной на этом отрезке. При этом под непрерывностью
в точках a, b понимается соответственно непрерывность
справа и слева.
     Аналогично определяется непрерывность на интервале,
на полуинтервале.
     Определение 2. Будем говорить, что функция f , опре-
деленная на E, достигает своей верхней (нижней) грани,
если
           ∃ x0 ∈ E : f (x0 ) = sup f (f (x0 ) = inf f ).
                              E                     E

    Теорема 1 (Вейерштрасса). Функция, непрерывная
на отрезке, ограничена и достигает своих верхней и нижней
граней.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть B B sup f 6 +∞. По
                                            [a,b]
определению верхней грани
          ∀n ∈ N   ∃ xn ∈ [a, b] : f (xn ) ∈ U 1 (B).
                                               n

Следовательно, f (xn ) → B при n → ∞.
   Последовательность {xn } ограничена,       так как
a 6 xn 6 b ∀ n ∈ N. По теореме Больцано–Вейерштрасса
выделим из нее сходящуюся подпоследовательность {xnk },
xnk → x0 при k → ∞.
   Переходя к пределу в неравенстве a 6 xnk 6 b, полу-
чаем, что x0 ∈ [a, b]. В силу непрерывности функции f в
точке x0 имеем
              f (xnk ) → f (x0 ) при k → ∞.
С другой стороны, {f (xnk )} — подпоследовательность схо-
дящейся к B последовательности. Поэтому f (xnk ) → B при
k → ∞.

Страницы