Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3.8. Сравнение функций 49
Определение. Функции f и g называются функциями
одного порядка при x → a, если
f = O(g), g = O(f) при x → a.
При этом пишут f(x) g(x), x → a.
Лемма 1. Пусть lim
x→a
g(x)
f(x)
= K 6= 0. Тогда f и g явля-
ются функциями одного порядка при x → a.
Д о к а з а т е л ь с т в о. lim
x→a
g(x)
f(x)
= K > 0. Следова-
тельно, при некотором δ > 0
1
2
|K| =
|g(x)|
|f(x)|
6
3
2
|K|
для ∀x ∈
˚
U
δ
(a). Отсюда
|g(x)| 6
3
2
|K||f(x)|, |f(x)| 6
2
|K|
|g(x)| ∀x ∈
˚
U
δ
(a),
т. е. f и g — функции одного порядка.
Определение. Функции f и g называются эквива-
лентными (асимптотически равными) при x → a (запи-
сывается f ∼ g при x → a), если f(x) = λ(x)g(x), x ∈
˚
U(a),
причем lim
x→a
λ(x) = 1.
Отношение эквивалентности обладает свойствами:
1.
◦
f ∼ g при x → a ⇒ g ∼ f при x → a (симметрия);
2.
◦
f ∼ g, g ∼ h при x → a ⇒ f ∼ f при x → a (транзи-
тивность);
Упражнение 3. Доказать свойства 1
◦
, 2
◦
.
Лемма 2. Пусть lim
x→a
g(x)
f(x)
= 1. Тогда f ∼ g при x → a.
Примеры.
a) x
2
= O(x) при x → 0;
b) x = O(x
2
) при x → +∞;
c)
2x
4
+ 1
x
2
− 1
x
2
при x → +∞;
d)
x
x
2
− 1
∼ x при x → 0;
                  § 3.8. Сравнение функций                49

   Определение. Функции f и g называются функциями
одного порядка при x → a, если
            f = O(g),   g = O(f )     при    x → a.
При этом пишут f (x)  g(x), x → a.
                             g(x)
   Лемма 1. Пусть lim f (x) = K 6= 0. Тогда f и g явля-
                   x→a
ются функциями одного порядка при x → a.
                                    g(x)
   Д о к а з а т е л ь с т в о. lim f (x) = K > 0. Следова-
                                x→a
тельно, при некотором δ > 0
                     1        |g(x)|    3
                       |K| =          6 |K|
                     2        |f (x)|   2
для ∀ x ∈ Ůδ (a). Отсюда
             3                       2
    |g(x)| 6 |K| |f (x)|, |f (x)| 6     |g(x)| ∀ x ∈ Ůδ (a),
             2                      |K|
т. е. f и g — функции одного порядка.
     Определение. Функции f и g называются эквива-
лентными (асимптотически равными) при x → a (запи-
сывается f ∼ g при x → a), если f (x) = λ(x)g(x), x ∈ Ů (a),
причем lim λ(x) = 1.
          x→a
     Отношение эквивалентности обладает свойствами:
     1.◦ f ∼ g при x → a ⇒ g ∼ f при x → a (симметрия);
     2.◦ f ∼ g, g ∼ h при x → a ⇒ f ∼ f при x → a (транзи-
         тивность);
     Упражнение 3. Доказать свойства 1◦ , 2◦ .
                             g(x)
   Лемма 2. Пусть lim f (x) = 1. Тогда f ∼ g при x → a.
                     x→a
   Примеры.
a) x2 = O(x) при x → 0;
b) x = O(x2 ) при x → +∞;
      4
c) 2x2 + 1  x2 при x → +∞;
     x −1
d)     x    ∼ x при x → 0;
     x2 − 1

Страницы