Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

48 Глава 3. Предел функции
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть sup
(a,b)
f = B 6 +∞. Возь-
мем произвольное ε > 0. Из определения верхней грани
функции следует ∃x
ε
∈ (a, b): f(x
ε
) ∈ U
ε
(B). Выберем δ =
= δ
ε
> 0 таким, что x
ε
6∈ U
δ
(b) (т. е. U
δ
(b) лежит правее x
ε
).
Тогда, в силу возрастания функции f , f(
˚
U
δ
(b−0)) ⊂ U
ε
(B).
Следовате льно, ∃f(b − 0) = B.
Упражнение 1. Доказать соответствующую теорему
для убывающей функции, а также для предела f(a + 0).
Следствие. Пусть функция f монотонна на (a, b) 3 x
0
.
Тогда существуют конечные пределы f(x
0
− 0), f(x
0
+ 0).
§ 3.8. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции. Сравнение функций
Определение. Пусть a ∈ R или является одним из
символов −∞, +∞, x
0
− 0, x
0
+ 0 (x
0
∈ R). Функция f:
U(a) → R называется бесконечно малой (бесконечно боль-
шой) при x → a, если lim
x→a
f(x) = 0 ( lim
x→a
f(x) = ∞).
Упражнение 1. Показать, что произведение конечного
числа бесконечно малых функций является бесконечно ма-
лой функцией.
Упражнение 2. Показать, что произведение беско-
нечно малой функции на ограниченную является беско-
нечно малой функцией.
Далее будем считать, что функции f, g определены в
некоторой проколотой окрестности
˚
U(a), где a ∈ R либо
является одним из символов: a = −∞, +∞, x
0
− 0, x
0
+ 0
(x
0
∈ R).
Определение. Пусть существует постоянная C > 0
такая, что
|f(x)| 6 C|g(x)| ∀x ∈
˚
U(a).
Тогда пишут: f = O(g) при x → a.
48                  Глава 3. Предел функции

     Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть sup f = B 6 +∞. Возь-
                                      (a,b)
мем произвольное ε > 0. Из определения верхней грани
функции следует ∃ xε ∈ (a, b): f (xε ) ∈ Uε (B). Выберем δ =
= δε > 0 таким, что xε 6∈ Uδ (b) (т. е. Uδ (b) лежит правее xε ).
Тогда, в силу возрастания функции f , f (Ůδ (b−0)) ⊂ Uε (B).
Следовательно, ∃ f (b − 0) = B.
   Упражнение 1. Доказать соответствующую теорему
для убывающей функции, а также для предела f (a + 0).

   Следствие. Пусть функция f монотонна на (a, b) 3 x0 .
Тогда существуют конечные пределы f (x0 − 0), f (x0 + 0).


§ 3.8. Бесконечно малые и бесконечно большие
         функции. Сравнение функций
    Определение. Пусть a ∈ R или является одним из
символов −∞, +∞, x0 − 0, x0 + 0 (x0 ∈ R). Функция f :
U (a) → R называется бесконечно малой (бесконечно боль-
шой) при x → a, если lim f (x) = 0 ( lim f (x) = ∞).
                        x→a            x→a
    Упражнение 1. Показать, что произведение конечного
числа бесконечно малых функций является бесконечно ма-
лой функцией.
    Упражнение 2. Показать, что произведение беско-
нечно малой функции на ограниченную является беско-
нечно малой функцией.
    Далее будем считать, что функции f , g определены в
некоторой проколотой окрестности Ů (a), где a ∈ R либо
является одним из символов: a = −∞, +∞, x0 − 0, x0 + 0
(x0 ∈ R).
   Определение. Пусть существует постоянная C > 0
такая, что
             |f (x)| 6 C|g(x)| ∀ x ∈ Ů (a).
Тогда пишут: f = O(g) при x → a.

Страницы