Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3.7. Пределы монотонных функций 47
Будем пользоваться также следующими обозначениями
для пределов:
f(−∞) B lim
x→−∞
f(x), f(+∞) B lim
x→+∞
f(x).
Упражнение 1. Сформулировать определения преде-
лов слева и справа в терминах последовательностей.
З а м е ч а н и е 1. Можно расширить общее опре-
деление предела функции lim
x→a
f(x) = A, A ∈
ˆ
R, считая в нем
a либо числом, либо одним из символов −∞, +∞, ∞, x
0
−0,
x
0
+ 0, где x
0
∈ R. Тогда это расширенное общее опреде-
ление предела функции будет содержать и только что вве-
денные понятия предела слева и предела справа.
Лемма 1. Пусть x
0
∈ R, функция f определена на
˚
U
δ
0
(x
0
). Тогда для существования lim
x→x
0
f(x) необходимо и
достаточно существования каждого из пределов f(x
0
−0) и
f(x
0
+ 0) и их равенства f(x
0
− 0) = f(x
0
+ 0).
Упражнение 2. Доказать лемму.
§ 3.7. Пределы монотонных функций
Определение. Функция f : X → R называется воз-
растающей (убывающей) на E ⊂ X, если из x
1
, x
2
∈ E,
x
1
< x
2
следует f(x
1
) 6 f(x
2
) (f(x
1
) > f(x
2
)).
Если вместо нестрогого неравенства можно напи-
сать строгое, функцию называют строго возрастающей
(строго убывающей).
Теорема 1. Пусть −∞ 6 a < b 6 +∞, функция f
возрастает на (a, b). Тогда
∃ lim
x→b−0
= sup
(a,b)
f(x).
З а м е ч а н и е 1. В случае b = +∞ под +∞ − 0
понимается +∞.
           § 3.7. Пределы монотонных функций             47

   Будем пользоваться также следующими обозначениями
для пределов:
       f (−∞) B lim f (x),    f (+∞) B lim f (x).
                 x→−∞                        x→+∞
   Упражнение 1. Сформулировать определения преде-
лов слева и справа в терминах последовательностей.
   З а м е ч а н и е 1. Можно расширить общее опре-
деление предела функции lim f (x) = A, A ∈ R̂, считая в нем
                         x→a
a либо числом, либо одним из символов −∞, +∞, ∞, x0 −0,
x0 + 0, где x0 ∈ R. Тогда это расширенное общее опреде-
ление предела функции будет содержать и только что вве-
денные понятия предела слева и предела справа.
     Лемма 1. Пусть x0 ∈ R, функция f определена на
Ůδ0 (x0 ). Тогда для существования lim f (x) необходимо и
                                      x→x0
достаточно существования каждого из пределов f (x0 − 0) и
f (x0 + 0) и их равенства f (x0 − 0) = f (x0 + 0).
   Упражнение 2. Доказать лемму.

       § 3.7. Пределы монотонных функций
   Определение. Функция f : X → R называется воз-
растающей (убывающей) на E ⊂ X, если из x1 , x2 ∈ E,
x1 < x2 следует f (x1 ) 6 f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )).
   Если вместо нестрогого неравенства можно напи-
сать строгое, функцию называют строго возрастающей
(строго убывающей).
   Теорема 1. Пусть −∞ 6 a < b 6 +∞, функция f
возрастает на (a, b). Тогда
                   ∃ lim = sup f (x).
                     x→b−0    (a,b)

   З а м е ч а н и е      1. В случае b = +∞ под +∞ − 0
понимается +∞.

Страницы