Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3.5. Критерий Коши 45
§ 3.5. Критерий Коши
Теорема 1 (критерий Коши существования ко-
нечного предела функции). Пусть функция f опреде-
лена на
˚
U
δ
0
(x
0
), x
0
∈ R.
Для существования конечного предела lim
x→x
0
f(x) необхо-
димо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : |f(x
0
) − f(x
00
)| < ε ∀x
0
, x
00
∈
˚
U
δ
(x
0
).
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Необходимость. Пусть ∃ lim
x→x
0
f(x) = A ∈ R. Тогда
для ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0: |f(x
0
) − A| < ε, |f(x
00
) − A| <
< ε ∀x
0
, x
00
∈
˚
U
δ
(x
0
). Отсюда |f(x
0
) − f(x
00
)| 6 |f(x
0
) −
− A| + |f(x
00
) − A| < ε + ε = 2ε ∀x
0
, x
00
∈
˚
U
δ
(x
0
), что и
требовалось показать.
Достаточность. Пусть выполнено условие Коши. По-
кажем, что ∃ lim
x→x
0
f(x). Вос пользуемся для этого определе-
нием 3.3.2 предела функции (т. е. определением в терминах
последовательностей). Пусть x
n
∈
˚
U
δ
0
(x
0
), x
n
→ x
0
при
n → ∞. Возьмем произвольное ε > 0. Пусть δ = δ(ε) > 0
взято из условия Коши. В силу определения предела после -
довательности найдется n
δ(ε)
∈ N такое, что x
n
∈
˚
U
δ(ε)
(x
0
)
∀n > n
δ(ε)
= n
ε
. Отсюда и из условия Коши имеем
|f(x
n
) − f(x
m
)| < ε ∀n, m > n
ε
.
В силу критерия Коши для последовательностей после-
довательность {f(x
n
)} сходится. Пусть A = lim
n→∞
f(x
n
).
Для завершения доказательства остается показать, что
для любой последовательности {x
0
n
}, x
0
n
∈
˚
U
δ
0
(x
0
), x
0
n
→ x
0
(n → ∞) lim
n→∞
f(x
0
n
) (существующий по уже доказанному)
также равен A. Предположим противное: lim
n→∞
f(x
0
n
) = B
для некоторой последовательности {x
0
n
}, x
0
n
∈
˚
U
δ
0
(x
0
), x
0
n
→
→ x
0
(n → ∞). Рассмотрим последовательность f(x
1
),
                       § 3.5. Критерий Коши                            45

                   § 3.5. Критерий Коши
   Теорема 1 (критерий Коши существования ко-
нечного предела функции). Пусть функция f опреде-
лена на Ůδ0 (x0 ), x0 ∈ R.
   Для существования конечного предела lim f (x) необхо-
                                                    x→x0
димо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : |f (x0 ) − f (x00 )| < ε ∀ x0 , x00 ∈ Ůδ (x0 ).

   Д о к а з а т е л ь с т в о.
   Необходимость. Пусть ∃ lim f (x) = A ∈ R. Тогда
                                     x→x0
для ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0: |f (x0 ) − A| < ε, |f (x00 ) − A| <
< ε ∀ x0 , x00 ∈ Ůδ (x0 ). Отсюда |f (x0 ) − f (x00 )| 6 |f (x0 ) −
− A| + |f (x00 ) − A| < ε + ε = 2ε ∀ x0 , x00 ∈ Ůδ (x0 ), что и
требовалось показать.
   Достаточность. Пусть выполнено условие Коши. По-
кажем, что ∃ lim f (x). Воспользуемся для этого определе-
                x→x0
нием 3.3.2 предела функции (т. е. определением в терминах
последовательностей). Пусть xn ∈ Ůδ0 (x0 ), xn → x0 при
n → ∞. Возьмем произвольное ε > 0. Пусть δ = δ(ε) > 0
взято из условия Коши. В силу определения предела после-
довательности найдется nδ(ε) ∈ N такое, что xn ∈ Ůδ(ε) (x0 )
∀ n > nδ(ε) = nε . Отсюда и из условия Коши имеем
               |f (xn ) − f (xm )| < ε ∀ n, m > nε .
   В силу критерия Коши для последовательностей после-
довательность {f (xn )} сходится. Пусть A = lim f (xn ).
                                                       n→∞
   Для завершения доказательства остается показать, что
для любой последовательности {x0n }, x0n ∈ Ůδ0 (x0 ), x0n → x0
(n → ∞) lim f (x0n ) (существующий по уже доказанному)
           n→∞
также равен A. Предположим противное: lim f (x0n ) = B
                                                      n→∞
для некоторой последовательности {x0n }, x0n ∈ Ůδ0 (x0 ), x0n →
→ x0 (n → ∞). Рассмотрим последовательность f (x1 ),

Страницы