Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3.4. Свойства пределов функции 43
В силу сходимости x
n
→ a (n → ∞) для нашего δ = δ(ε)
∃n
δ(ε)
∈ N: x
n
∈
˚
U
δ(ε)
∀n > n
δ(ε)
. Но тогда f(x
n
) ∈ U
ε
(A)
∀n > n
δ(ε)
, т. е. f(x
n
) → A при n → ∞, что и требовалось
показать.
Покажем теперь, что 2 ⇒ 1. Пусть A = lim
x→a
f(x) в
смысле определения 1. Покажем, что A = lim
x→a
f(x) в смысле
определения 2. Допустим противное, т. е. что
∃ε
0
> 0 : ∀δ > 0 ∃x ∈
˚
U
δ
(a) : f(x) 6∈ U
ε
0
(A).
В качестве δ будем брать δ =
1
n
и соответствующее значе-
ние x обозначать через x
n
, т. е. при ∀n ∈ N для δ =
1
n
> 0
∃x
n
∈
˚
U
1
n
(a) : f(x
n
) 6∈ U
ε
0
(A).
Но это означает, что для последовательности {x
n
} имеем
x
n
6= a, x
n
→ a (n → ∞), f(x
n
) 6→ A (n → ∞),
т. е. A не является пределом f(x) при x → a в смысле опре-
деления 2, что противоречит исходному условию. Утвер-
ждение доказано.
Пример 1. Покажем, что lim
x→0
sin
1
x
не существует.
Рассмотрим для этого две с ходящиеся к нулю последо-
вательности {x
n
} =
n
1
2πn
o
, {x
0
n
} =
(
1
2πn +
π
2
)
. Имеем
lim
n→∞
sin
1
x
n
= lim
n→∞
0 = 0, lim
n→∞
sin
1
x
0
n
= lim
n→∞
1 = 1.
С помощью определения 2 предела заключаем, что ни-
какая точка A не может быть пределом lim
x→0
sin
1
x
, т. е. что
этот предел не существует.
§ 3.4. Свойства пределов функции
Теорема 1. Пусть функции f, g, h определены на
˚
U
δ
0
(a), a ∈ R, f 6 g 6 h на
˚
U
δ
0
(a), f(x) → A, h(x) → A
при x → a, A ∈ R. Тогда g(x) → A при x → a.
              § 3.4. Свойства пределов функции                     43

    В силу сходимости xn → a (n → ∞) для нашего δ = δ(ε)
∃ nδ(ε) ∈ N: xn ∈ Ůδ(ε) ∀ n > nδ(ε) . Но тогда f (xn ) ∈ Uε (A)
∀ n > nδ(ε) , т. е. f (xn ) → A при n → ∞, что и требовалось
показать.
    Покажем теперь, что 2 ⇒ 1. Пусть A = lim f (x) в
                                                          x→a
смысле определения 1. Покажем, что A = lim f (x) в смысле
                                        x→a
определения 2. Допустим противное, т. е. что
      ∃ ε0 > 0 : ∀ δ > 0       ∃ x ∈ Ůδ (a) : f (x) 6∈ Uε0 (A).
В качестве δ будем брать δ = n  1 и соответствующее значе-
                                                      1 >0
ние x обозначать через xn , т. е. при ∀ n ∈ N для δ = n

                ∃ xn ∈ Ů 1 (a) : f (xn ) 6∈ Uε0 (A).
                           n

Но это означает, что для последовательности {xn } имеем
   xn 6= a,   xn → a (n → ∞),            f (xn ) 6→ A   (n → ∞),
т. е. A не является пределом f (x) при x → a в смысле опре-
деления 2, что противоречит исходному условию. Утвер-
ждение доказано.
    Пример 1. Покажем, что lim sin x1 не существует.
                                     x→0
   Рассмотрим для этого две сходящиеся
                                   ( к нулю
                                          ) последо-
                   n    o
                      1 , {x0 } =
вательности {xn } = 2πn                1
                              n          π . Имеем
                                        2πn + 2
          1                       1
 lim sin xn = lim 0 = 0, lim sin x0 = lim 1 = 1.
n→∞          n→∞         n→∞       n n→∞
   С помощью определения 2 предела заключаем, что ни-
какая точка A не может быть пределом lim sin x1 , т. е. что
                                     x→0
этот предел не существует.

         § 3.4. Свойства пределов функции
     Теорема 1. Пусть функции f , g, h определены на
Ůδ0 (a), a ∈ R, f 6 g 6 h на Ůδ0 (a), f (x) → A, h(x) → A
при x → a, A ∈ R. Тогда g(x) → A при x → a.

Страницы