Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

42 Глава 3. Предел функции
Более общим является
Определение 1
00
. Пусть функция f определена на
˚
U
δ
0
(a), a ∈ R. Точка A ∈
ˆ
R называется пределом функ-
ции f при x → a, если
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : f(x) ∈ U
ε
(A) при x ∈
˚
U
δ
(a).
В иной форме определение 1
00
можно записать так:
Определение 1. Пусть функция f определена на
˚
U
δ
0
(a), a ∈ R. Точка A ∈
ˆ
R называется пределом f при
x → a, если
∀U(A) ∃U(a) : f(
˚
U(a)) ⊂ U(A).
Для обозначения предела пишут lim
x→a
f(x) = A или
f(x) → A при x → a.
Определения 1
0
, 1
00
, 1 сф ормулированы в терминах
окрестностей. Приведем определение предела в терминах
последовательностей.
Определение 2. Пусть функция f определена на
˚
U
δ
0
(a), a ∈ R. Точка A ∈
ˆ
R называется пределом f при
x → a, если lim
n→∞
f(x
n
) = A для любой последовательности
{x
n
}: x
n
∈
˚
U
δ
0
∀n ∈ N, x
n
→ a при n → ∞.
Теорема 1. Определения 1 и 2 эквивалентны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что 1 ⇒ 2
(т. е. что если A является пределом f при x → a по опреде-
лению 1, то A является пределом f при x → a по определе-
нию 2).
Пусть f:
˚
U
δ
0
(a) → R, A = lim
x→a
f(x) в смысле определе-
ния 1. Пусть последовательность {x
n
}: x
n
∈
˚
U
δ
0
(a), x
n
→ a
при n → ∞. Покажем, что lim
n→∞
f(x
n
) = A.
Возьмем произвольное ε > 0. Тогда в силу определе-
ния 1 (1
00
) ∃δ = δ(ε) > 0 такое, что f (x) ∈ U
ε
(A) ∀x ∈
∈
˚
U
δ
(a).
42                   Глава 3. Предел функции

     Более общим является
     Определение 100 . Пусть функция f определена на
Ůδ0 (a), a ∈ R. Точка A ∈ R̂ называется пределом функ-
ции f при x → a, если
     ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : f (x) ∈ Uε (A) при x ∈ Ůδ (a).
     В иной форме определение 100 можно записать так:
     Определение 1. Пусть функция f определена на
Ůδ0 (a), a ∈ R. Точка A ∈ R̂ называется пределом f при
x → a, если
              ∀ U (A) ∃ U (a) : f (Ů (a)) ⊂ U (A).
     Для обозначения предела пишут lim f (x) = A или
                                           x→a
f (x) → A при x → a.
    Определения 10 , 100 , 1 сформулированы в терминах
окрестностей. Приведем определение предела в терминах
последовательностей.
     Определение 2. Пусть функция f определена на
Ůδ0 (a), a ∈ R. Точка A ∈ R̂ называется пределом f при
x → a, если lim f (xn ) = A для любой последовательности
              n→∞
{xn }: xn ∈ Ůδ0 ∀ n ∈ N, xn → a при n → ∞.
     Теорема 1. Определения 1 и 2 эквивалентны.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что 1 ⇒ 2
(т. е. что если A является пределом f при x → a по опреде-
лению 1, то A является пределом f при x → a по определе-
нию 2).
    Пусть f : Ůδ0 (a) → R, A = lim f (x) в смысле определе-
                                  x→a
ния 1. Пусть последовательность {xn }: xn ∈ Ůδ0 (a), xn → a
при n → ∞. Покажем, что lim f (xn ) = A.
                              n→∞
    Возьмем произвольное ε > 0. Тогда в силу определе-
ния 1 (100 ) ∃ δ = δ(ε) > 0 такое, что f (x) ∈ Uε (A) ∀ x ∈
∈ Ůδ (a).

Страницы