Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

44 Глава 3. Предел функции
Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедимся, что lim
x→a
g(x) = A с
помощью определения 3.3.2. Рассмотрим для этого произ-
вольную последовательность
{x
n
} : x
n
∈
˚
U
δ
0
(a) ∀n ∈ N, x
n
→ a (n → ∞).
Имеем
f(x
n
) 6 g(x
n
) 6 h(x
n
).
Поскольку f (x
n
) → A, h(x
n
) → A (n → ∞), в силу соответ-
ствующего свойства последовательностей получаем, что
g(x
n
) → A (n → ∞).
В силу произвольности последовательности {x
n
} заклю-
чаем с помощью определения 3.3.2, что lim
x→a
g(x) = A.
Теорема 2. Пусть функции f, g определены на
˚
U
δ
0
(a),
a ∈ R, lim
x→a
f(x) = A, lim
x→a
g(x) = B, A, B ∈ R. Тогда
1.
◦
lim
x→a
(f(x) ± g(x)) = A ± B;
2.
◦
lim
x→a
f(x)g(x) = AB;
3.
◦
если дополнительно g(x) 6= 0 при x ∈
˚
U
δ
0
(a), B 6= 0,
то
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
A
B
.
Д о к а з а т е л ь с т в о всех с войств проводится по од-
ной и той же схеме, поэтому приведем доказательство лишь
для свойства 2
◦
.
Пусть {x
n
} такова, что
x
n
∈
˚
U
δ
0
(a) ∀n ∈ N, x
n
→ a (n → ∞).
Тогда lim
n→∞
f(x
n
) = A, lim
n→∞
g(x
n
) = B в силу опреде-
ления 3.3.2. По свойству пределов последовательностей
lim
n→∞
f(x
n
)g(x
n
) = AB. В силу произвольности после-
довательности {x
n
} и определения 3.3.2 получаем, что
lim
x→a
f(x)g(x) = AB.
44                     Глава 3. Предел функции

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедимся, что lim g(x) = A с
                                              x→a
помощью определения 3.3.2. Рассмотрим для этого произ-
вольную последовательность
       {xn } : xn ∈ Ůδ0 (a) ∀ n ∈ N,     xn → a (n → ∞).
Имеем
                   f (xn ) 6 g(xn ) 6 h(xn ).
Поскольку f (xn ) → A, h(xn ) → A (n → ∞), в силу соответ-
ствующего свойства последовательностей получаем, что
                       g(xn ) → A     (n → ∞).
В силу произвольности последовательности {xn } заклю-
чаем с помощью определения 3.3.2, что lim g(x) = A.
                                             x→a

   Теорема 2. Пусть функции f , g определены на Ůδ0 (a),
a ∈ R, lim f (x) = A, lim g(x) = B, A, B ∈ R. Тогда
            x→a          x→a
      1.◦ lim (f (x) ± g(x)) = A ± B;
            x→a
      2.◦ lim f (x)g(x) = AB;
            x→a
      3.◦
       если дополнительно g(x) 6= 0 при x ∈ Ůδ0 (a), B 6= 0,
       то
                                 f (x)  A
                             lim       = .
                             x→a g(x)   B
   Д о к а з а т е л ь с т в о всех свойств проводится по од-
ной и той же схеме, поэтому приведем доказательство лишь
для свойства 2◦ .
   Пусть {xn } такова, что
             xn ∈ Ůδ0 (a) ∀ n ∈ N,   xn → a (n → ∞).
Тогда lim f (xn ) = A, lim g(xn ) = B в силу опреде-
        n→∞              n→∞
ления 3.3.2. По свойству пределов последовательностей
 lim f (xn )g(xn ) = AB. В силу произвольности после-
n→∞
довательности {xn } и определения 3.3.2 получаем, что
lim f (x)g(x) = AB.
x→a

Страницы