Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

46 Глава 3. Предел функции
f(x
0
2
), f(x
3
), f(x
0
4
), . . . Она, очевидно, расходится (имеет
два различных частичных предела A и B). Это противоре-
чит доказанной сходимости всякой последовательности зна-
чений функции для сходящейся к x
0
значений аргументов.
Теорема доказана.
§ 3.6. Односторонние пределы
Пусть x
0
∈ R, δ > 0. Множество U
δ
(x
0
−0) = (x
0
−δ, x
0
]
называют левой полуокрестностью точки x
0
радиуса δ.
Через U(x
0
− 0) обозначают левую полуокрестность точки
x
0
произвольного радиуса.
Множество U
δ
(x
0
+ 0) = [x
0
, x
0
+ δ) называется правой
полуокрестностью точки x
0
радиуса δ. Через U(x
0
+ 0)
обозначают правую полуокрестность точки x
0
произволь-
ного радиуса.
Проколотыми полуокрестностями называют соответ-
ственно
˚
U
δ
(x
0
− 0) = U
δ
(x
0
− 0) \ {x
0
} = (x
0
− δ, x
0
),
˚
U
δ
(x − 0) = U
δ
(x − 0) \ {x
0
},
˚
U
δ
(x
0
+ 0) = U
δ
(x
0
+ 0) \ {x
0
} = (x
0
, x
0
+ δ),
˚
U(x
0
+ 0) = U(x
0
+ 0) \ {x
0
}.
Определение. Пусть x
0
∈ R, функция f определена
на
˚
U
δ
0
(x
0
− 0). Точка A ∈
ˆ
R называется пределом слева
функции f в точке x
0
(пишут f(x
0
− 0) B lim
x→x
0
−0
f(x) =
= A), если
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x ∈
˚
U
δ(ε)
(x
0
− 0), f(x) ∈ U
ε
(A).
Аналогично определяется предел справа функции в
точке x
0
∈ R. Он обозначается через f(x
0
+ 0), lim
x→x
0
+0
f(x).
46                   Глава 3. Предел функции

f (x02 ), f (x3 ), f (x04 ), . . . Она, очевидно, расходится (имеет
два различных частичных предела A и B). Это противоре-
чит доказанной сходимости всякой последовательности зна-
чений функции для сходящейся к x0 значений аргументов.
    Теорема доказана.


             § 3.6. Односторонние пределы
   Пусть x0 ∈ R, δ > 0. Множество Uδ (x0 − 0) = (x0 − δ, x0 ]
называют левой полуокрестностью точки x0 радиуса δ.
Через U (x0 − 0) обозначают левую полуокрестность точки
x0 произвольного радиуса.
   Множество Uδ (x0 + 0) = [x0 , x0 + δ) называется правой
полуокрестностью точки x0 радиуса δ. Через U (x0 + 0)
обозначают правую полуокрестность точки x0 произволь-
ного радиуса.
   Проколотыми полуокрестностями называют соответ-
ственно
         Ůδ (x0 − 0) = Uδ (x0 − 0) \ {x0 } = (x0 − δ, x0 ),
          Ůδ (x − 0) = Uδ (x − 0) \ {x0 },
         Ůδ (x0 + 0) = Uδ (x0 + 0) \ {x0 } = (x0 , x0 + δ),
         Ů (x0 + 0) = U (x0 + 0) \ {x0 }.

   Определение. Пусть x0 ∈ R, функция f определена
на Ůδ0 (x0 − 0). Точка A ∈ R̂ называется пределом слева
функции f в точке x0 (пишут f (x0 − 0) B lim f (x) =
                                                    x→x0 −0
= A), если

∀ε > 0    ∃ δ = δ(ε) > 0 : ∀ x ∈ Ůδ(ε) (x0 − 0),    f (x) ∈ Uε (A).

   Аналогично определяется предел справа функции в
точке x0 ∈ R. Он обозначается через f (x0 + 0), lim f (x).
                                                       x→x0 +0

Страницы