Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3.3. Понятие предела функции 41
(II) Рациональные функции (рациональные дроби).
P (x)
Q(x)
, где P (x), Q(x) — многочлены, Q(x) 6≡ 0.
(III) Иррациональные функции. Иррациональной на-
зывается функция, не являющаяся рациональной, которая
может быть задана с помощью композиций конечного числа
рациональных функций, степенных функций с рациональ-
ными показателями и четырех арифметических действий.
Пример.
3
v
u
u
t
√
x +
1
√
x
x +
1
x
.
(IV) Трансцендентные функции. Элементарные функ-
ции, не являющиеся ни рациональными, ни иррациональ-
ными функциями, называются трансцендентными функ-
циями. Все тригонометрические функции, обратные триго-
нометрические функции, показательная и логарифмическая
функции являются трансцендентными функциями.
§ 3.3. Понятие предела функции
Как и раньше, R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞},
ˆ
R = R ∪ {∞},
U
ε
(a) — ε-окрестность a при ε > 0, U (a) — окрестность a
(т. е. U
ε
(a) при некотором ε > 0).
˚
U
ε
B U
ε
(a) \ {a},
˚
U(a) B U(a) \ {a} (1)
называются проколотыми окрестностями точки a (точ-
кой будем называть как число, так и любой из элементов
−∞, +∞, ∞).
Определение 1
0
. Пусть функция f определена на
˚
U
δ
0
(x
0
), x
0
∈ R. Число A ∈ R называется пределом функ-
ции f при x → x
0
, если
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : |f(x) − A| < ε
при 0 < |x − x
0
| < δ. (2)
              § 3.3. Понятие предела функции                  41

(II) Рациональные функции (рациональные дроби).
     P (x)
           , где P (x), Q(x) — многочлены, Q(x) 6≡ 0.
     Q(x)

(III) Иррациональные функции. Иррациональной на-
зывается функция, не являющаяся рациональной, которая
может быть задана с помощью композиций конечного числа
рациональных функций, степенных функций с рациональ-
ными показателями
              v √ и четырех арифметических действий.
                  x + √1
              u
                        x
              u
              3
   Пример.    t
                       1  .
                    x+ x
(IV) Трансцендентные функции. Элементарные функ-
ции, не являющиеся ни рациональными, ни иррациональ-
ными функциями, называются трансцендентными функ-
циями. Все тригонометрические функции, обратные триго-
нометрические функции, показательная и логарифмическая
функции являются трансцендентными функциями.

          § 3.3. Понятие предела функции
    Как и раньше, R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}, R̂ = R ∪ {∞},
Uε (a) — ε-окрестность a при ε > 0, U (a) — окрестность a
(т. е. Uε (a) при некотором ε > 0).
           Ůε B Uε (a) \ {a},   Ů (a) B U (a) \ {a}         (1)
называются проколотыми окрестностями точки a (точ-
кой будем называть как число, так и любой из элементов
−∞, +∞, ∞).
     Определение 10 . Пусть функция f определена на
Ůδ0 (x0 ), x0 ∈ R. Число A ∈ R называется пределом функ-
ции f при x → x0 , если
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 : |f (x) − A| < ε
                                     при 0 < |x − x0 | < δ.   (2)

Страницы