Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 39 стр.

                 Глава 3
             ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

              § 3.1. Понятие функции
    Определение. Пусть каждому x ∈ X поставлен в со-
ответствие один и только один элемент y ∈ Y . Будем гово-
рить, что на множестве X задана функция со значениями
в Y . Обозначив эту функцию буквой f , можно записать
f : X → Y . Через f (x) обозначают значение функции f на
элементе x, т. е. тот элемент y ∈ Y , который поставлен в
соответствие элементу x ∈ X, y = f (x).
    Элемент x ∈ X называется аргументом или независи-
мой переменной, элемент y = f (x) ∈ Y — значением функ-
ции или зависимой переменной.
    При этом X называют областью определения функции
f , Yf = {y : y = f (x), x ∈ X} ⊂ Y — областью значений
функции f .
    Вместо термина «функция» употребляют равнозначные
ему термины «соответствие», «отображение». Для обозна-
чения функции наряду с f применяют также f (x), y = f (x).
Таким образом, f (x) может обозначать как значение функ-
ции f на элементе x, так и саму функцию f .
    Говорят, что f : X → Y определена на элементе x, если
x ∈ X, и что f не определена на элементе x, если x 6∈ X.
При E ⊂ X будем говорить, что f определена на E.
    При E ⊂ X f (E) B {y: y = f (x), x ∈ E} называется
образом E, f (X) = Yf .
    При D ⊂ Y f −1 (D) B {x: x ∈ X, f (x) ∈ D} называется
полным прообразом D.
    При E ⊂ X функция fE : E → Y , fE (x) B f (x) при x ∈
∈ E называется сужением (ограничением, следом) функции
f на E.