Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2.9. Изображение действит. чисел беск. десятич. дробями 37
очевидно, различные допустимые бесконечные десятичные
дроби.
Проверим теперь, что для всякой допустимой бесконеч-
ной десятичной дроби найдется последовательность {I
n
},
которой именно эта допустимая бесконечная десятичная
дробь оказалась поставленной в соответствие. Пусть
α
0
, α
1
α
2
. . . — произвольная допустимая бесконечная де-
сятичная дробь. Построим последовательность {I
n
} =
= {[a
n
, a
n
)}, для которой a
n
= α
0
, α
1
α
2
. . .α
n
, a
n
= a
n
+
1
10
n
∀n ∈ N.
Последовательность {a
n
} при этом не является застой-
ной, так как иначе все де сятичные знаки a
n
, начиная с неко-
торого n
0
, были бы равны 9, что противоречит допустимо-
сти нашей бесконечной десятичной дроби. Следовательно,
{I
n
} ∈ Ω по лемме 1. Очевидно, что построенной после-
довательности {I
n
} соответствует в силу (3) именно наша
допустимая бесконечная десятичная дробь.
Лемма доказана.
Теорема 1. Отображение (4) является взаимно одно-
значным соответствием между множествами всех неотри-
цательных чисел и множеством всех допустимых бесконеч-
ных десятичных дробей.
{a : a > 0} ↔
(
допустимые бесконечные
десятичные дроби
)
Д о к а з а т е л ь с т в о следует из (2) и (5).
Распространим отображение (4) на множество R всех
действительных чисел, доопределив его для отрицательных
чисел −a < 0 (a > 0) соответствием
−a → −α
0
, α
1
α
2
. . . ,
если a ↔ α
0
, α
1
α
2
. . . в (4).
 § 2.9. Изображение действит. чисел беск. десятич. дробями 37

очевидно, различные допустимые бесконечные десятичные
дроби.
     Проверим теперь, что для всякой допустимой бесконеч-
ной десятичной дроби найдется последовательность {In },
которой именно эта допустимая бесконечная десятичная
дробь оказалась поставленной в соответствие.                 Пусть
α0 , α1 α2 . . . — произвольная допустимая бесконечная де-
сятичная дробь. Построим последовательность {In } =
= {[an , an )}, для которой an = α0 , α1 α2 . . .αn , an = an + 101n
∀ n ∈ N.
     Последовательность {an } при этом не является застой-
ной, так как иначе все десятичные знаки an , начиная с неко-
торого n0 , были бы равны 9, что противоречит допустимо-
сти нашей бесконечной десятичной дроби. Следовательно,
{In } ∈ Ω по лемме 1. Очевидно, что построенной после-
довательности {In } соответствует в силу (3) именно наша
допустимая бесконечная десятичная дробь.
     Лемма доказана.

   Теорема 1. Отображение (4) является взаимно одно-
значным соответствием между множествами всех неотри-
цательных чисел и множеством всех допустимых бесконеч-
ных десятичных дробей.
                     (                       )
                      допустимые бесконечные
       {a : a > 0} ↔
                         десятичные дроби

   Д о к а з а т е л ь с т в о следует из (2) и (5).
   Распространим отображение (4) на множество R всех
действительных чисел, доопределив его для отрицательных
чисел −a < 0 (a > 0) соответствием
                       −a → −α0 , α1 α2. . . ,
если a ↔ α0 , α1 α2 . . . в (4).

Страницы