Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

36 Глава 2. Предел последовательности
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a ∈ I
n
∀n ∈ N. Тогда
a < a
n
∀n ∈ N, lim
n→∞
a
n
= a,
откуда видно, что последовательность {a
n
} не может быть
застойной.
Пусть теперь последовательность {a
n
} — незастойная.
Рассмотрим систему вложенных отрезков {
¯
I
n
} = {[a
n
, a
n
]}.
По теореме о вложенных отрезках, ∃a ∈
¯
I
n
∀n ∈ N. При
этом a 6 a
n
∀n ∈ N. Если a
n
0
= a при некотором n
0
,
то {a
n
} — застойная последовательность. Следовательно,
a < a
n
∀n ∈ N, т. е. a ∈ I
n
∀n ∈ N, что и требовалось
доказать.
Лемма доказана.
Определение. Назовем бесконечную десятичную
дробь допустимой, если она не содержит (9) в периоде.
Лемма 2.Соответствие (3) является взаимно однознач-
ным соответствием между множеством Ω и множес твом
всех допустимых бесконечных десятичных дробей:
Ω ←→ {допустимые бесконечные десятичные дроби} (5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {I
n
} ∈ Ω. По лемме 1,
последовательность {a
n
} — незастойная. Допустим, что
бесконечная десятичная дробь, соответствующая {I
n
}, в
силу (3) содержит девятку в периоде. Это означает, что
при некотором n
0
∈ N для всех n > n
0
I
n+1
является са-
мым правым из 10 полуинтервалов, на которые разбивается
I
n
. Но тогда последовательность {a
n
} — застойная, что
противоречит предположению. Таким образом, при соот-
ветствии (3)
Ω → {допустимые бесконечные десятичные дроби}.
Покажем, что это соответствие взаимно однозначное.
В самом деле, различным {I
n
} и {I
0
n
} соответствуют,
36             Глава 2. Предел последовательности

     Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a ∈ In ∀ n ∈ N. Тогда
                a < an   ∀ n ∈ N,   lim an = a,
                                    n→∞
откуда видно, что последовательность {an } не может быть
застойной.
   Пусть теперь последовательность {an } — незастойная.
Рассмотрим систему вложенных отрезков {I¯n } = {[an , an ]}.
По теореме о вложенных отрезках, ∃ a ∈ I¯n ∀ n ∈ N. При
этом a 6 an ∀ n ∈ N. Если an0 = a при некотором n0 ,
то {an } — застойная последовательность. Следовательно,
a < an ∀ n ∈ N, т. е. a ∈ In ∀ n ∈ N, что и требовалось
доказать.
   Лемма доказана.
   Определение.      Назовем бесконечную десятичную
дробь допустимой, если она не содержит (9) в периоде.
   Лемма 2.Соответствие (3) является взаимно однознач-
ным соответствием между множеством Ω и множеством
всех допустимых бесконечных десятичных дробей:
 Ω ←→ {допустимые бесконечные десятичные дроби} (5)

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {In } ∈ Ω. По лемме 1,
последовательность {an } — незастойная. Допустим, что
бесконечная десятичная дробь, соответствующая {In }, в
силу (3) содержит девятку в периоде. Это означает, что
при некотором n0 ∈ N для всех n > n0 In+1 является са-
мым правым из 10 полуинтервалов, на которые разбивается
In . Но тогда последовательность {an } — застойная, что
противоречит предположению. Таким образом, при соот-
ветствии (3)
     Ω → {допустимые бесконечные десятичные дроби}.
  Покажем, что это соответствие взаимно однозначное.
В самом деле, различным {In } и {In0 } соответствуют,

Страницы