Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2.9. Изображение действит. чисел беск. десятич. дробями 35
Легко проверить, что соответствие (1) является вза-
имно однозначным соответствием
{a ∈ R : a > 0} ←→ Ω. (2)
Определение. Символ α
0
, α
1
α
2
. . . с α
0
∈ N ∪ {0} и
α
i
∈ {0, 1, 2, . . . , 9} при i ∈ N называется бесконечной де-
сятичной дробью.
Рассмотрим следующее соответствие.
{I
n
} → α
0
, α
1
α
2
. . . , {I
n
} ∈ Ω, (3)
если I
n
=
h
a
n
, a
n
+
1
10
n
, a
n
= α
0
, α
1
α
2
. . .α
n
.
В силу (1), (3) каждому действительному числу a > 0
поставлена в соответствие бесконечная десятичная дробь
a → α
0
, α
1
α
2
. . . (a > 0) (4)
по правилу
a → {I
n
} → α
0
, α
1
α
2
. . .
Заметим, что при этом каждой конечной десятичной дроби
a поставлена в соответствие бесконечная десятичная дробь,
получающаяся из данной конечной приписыванием справа
нулей.
Изучим подробнее соответствие (3).
Определение. Последовательность {a
n
} правых кон-
цов системы вложенных десятичных полуинтервалов назо-
вем застойной, если
∃n
0
∈ N : a
n
= a
n
0
+1
= a
n
0
+2
= . . .
Лемма 1.Система вложенных десятичных полуинтер-
валов {I
n
} имеет общую точку (т. е. принадлежит Ω) тогда
и только тогда, когда {a
n
} — незастойная последователь-
ность.
 § 2.9. Изображение действит. чисел беск. десятич. дробями 35

   Легко проверить, что соответствие (1) является вза-
имно однозначным соответствием
                     {a ∈ R : a > 0} ←→ Ω.                 (2)

   Определение. Символ α0 , α1 α2. . . с α0 ∈ N ∪ {0} и
αi ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} при i ∈ N называется бесконечной де-
сятичной дробью.
   Рассмотрим следующее соответствие.
             {In } → α0 , α1 α2 . . . , {In } ∈ Ω,         (3)
           h            
если In = an , an + 101n , an = α0 , α1 α2 . . .αn .
   В силу (1), (3) каждому действительному числу a > 0
поставлена в соответствие бесконечная десятичная дробь
                     a → α0 , α1 α2 . . . (a > 0)          (4)
по правилу
                  a → {In } → α0 , α1 α2 . . .
Заметим, что при этом каждой конечной десятичной дроби
a поставлена в соответствие бесконечная десятичная дробь,
получающаяся из данной конечной приписыванием справа
нулей.
   Изучим подробнее соответствие (3).
   Определение. Последовательность {an } правых кон-
цов системы вложенных десятичных полуинтервалов назо-
вем застойной, если
               ∃ n0 ∈ N : an = an0 +1 = an0 +2 = . . .

   Лемма 1.Система вложенных десятичных полуинтер-
валов {In } имеет общую точку (т. е. принадлежит Ω) тогда
и только тогда, когда {an } — незастойная последователь-
ность.

Страницы