Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2.8. Критерий Коши 33
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть после-
довательность {a
n
} сходится и lim
n→∞
a
n
= a. Возьмем про-
извольное ε > 0. Тогда
∃n
ε
: |a − a
n
| <
ε
2
∀n > n
ε
.
Если теперь n, m > n
ε
, то
|a
n
− a
m
| 6 |a
n
− a| + |a
m
− a| <
ε
2
+
ε
2
= ε,
что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть последовательность {a
n
} фун-
даментальна, т. е. удовлетворяет условию (1). Покажем,
что она сходится.
Шаг 1. Покажем, что последовательность {a
n
} ограни-
чена. Возьмем ε = 1. Тогда из (1) следует, что
∃n
1
∈ N : |a
n
− a
n
1
| < 1 ∀n > n
1
,
так что
|a
n
| < 1 + |a
n
1
| ∀n > n
1
.
Следовательно, {a
n
} — ограничена.
Шаг 2. По теореме Больцано–Вейерштрасса, из {a
n
}
можно выделить сходящуюся подпоследовательность {a
n
k
}.
Пусть a B lim
k→∞
a
n
k
.
Шаг 3. Покажем, что a является пределом {a
n
}. Пусть
ε > 0. Тогда в силу (1)
∃n
ε
, k
ε
: |a
n
− a
n
k
| <
ε
2
∀n > n
ε
, ∀k > k
ε
.
Переходя в этом неравенстве к пределу при k → ∞ полу-
чаем, что
|a
n
− a| 6
ε
2
< ε ∀n > n
ε
.
В силу произвольности ε > 0 это означает, что
lim
n→∞
a
n
= a.
                     § 2.8. Критерий Коши                33

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть после-
довательность {an } сходится и lim an = a. Возьмем про-
                                   n→∞
извольное ε > 0. Тогда
                                   ε
                ∃ nε : |a − an | <     ∀ n > nε .
                                   2
   Если теперь n, m > nε , то
                                               ε ε
          |an − am | 6 |an − a| + |am − a| <    + = ε,
                                               2 2
что и требовалось доказать.
   Достаточность. Пусть последовательность {an } фун-
даментальна, т. е. удовлетворяет условию (1). Покажем,
что она сходится.
   Шаг 1. Покажем, что последовательность {an } ограни-
чена. Возьмем ε = 1. Тогда из (1) следует, что
              ∃ n1 ∈ N : |an − an1 | < 1   ∀ n > n1 ,
так что
                |an | < 1 + |an1 | ∀ n > n1 .
Следовательно, {an } — ограничена.
   Шаг 2. По теореме Больцано–Вейерштрасса, из {an }
можно выделить сходящуюся подпоследовательность {ank }.
Пусть a B lim ank .
             k→∞
   Шаг 3. Покажем, что a является пределом {an }. Пусть
ε > 0. Тогда в силу (1)
                                 ε
       ∃ nε , kε : |an − ank | <   ∀ n > nε , ∀ k > kε .
                                 2
Переходя в этом неравенстве к пределу при k → ∞ полу-
чаем, что
                         ε
               |an − a| 6 < ε ∀ n > nε .
                         2
    В силу произвольности ε > 0 это означает, что
 lim an = a.
n→∞

Страницы