Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2.7. Теорема Больцано–Вейерштрасса 31
Всякая последовательность имеет верхний и нижний
пределы, что будет установлено в §2.7
Упражнение 3. Пусть x
n
> 0, y
n
> 0 ∀n ∈ N, последо-
вательность {x
n
} сходится (т. е. имеет конечный предел),
последовательность {y
n
} имеет конечный верхний предел.
Доказать, что тогда
lim
n→∞
x
n
y
n
= lim
n→∞
x
n
lim
n→∞
y
n
.
§ 2.7. Теорема Больцано–Вейерштрасса
Теорема 1 (Больцано–Вейерштрасса). Всякая
ограниченная последовательность имеет хотя бы один ча-
стичный предел.
Другая ее формулировка: из всякой ограниченной по-
следовательности можно выделить сходящуюся подпо-
следовательность.
Теорема Больцано–Вейерштрасса является следствием
более общей и более сильной теоремы.
Теорема 2. Всякая последовательность имеет (в R)
верхний и нижний пределы.
Д о к а з а т е л ь с т в о (для верхнего предела). Пусть
{a
n
} — произвольная последовательность. X = {x: x ∈ R,
правее x бесконечно много элементов последовательности}.
1 случай. X = ∅. Это значит, что ∀U(−∞) содержит
почти все элементы последовательности, т. е. ∃ lim
n→∞
a
n
=
= −∞. Следовательно, −∞ — единственный частичный
предел {a
n
}, так что a =
lim
n→∞
a
n
.
2 случай. X 6= ∅. Тогда ∃ sup X = b, −∞ < b 6 +∞.
Покажем, что b = lim
n→∞
a
n
. Возьмем произвольное ε > 0,
и пусть b
0
ε
∈ U
ε
(b), b
0
ε
< b. Тогда из определения верхней
          § 2.7. Теорема Больцано–Вейерштрасса            31

   Всякая последовательность имеет верхний и нижний
пределы, что будет установлено в § 2.7
   Упражнение 3. Пусть xn > 0, yn > 0 ∀ n ∈ N, последо-
вательность {xn } сходится (т. е. имеет конечный предел),
последовательность {yn } имеет конечный верхний предел.
Доказать, что тогда
                 lim xn yn = lim xn lim yn .
                n→∞          n→∞    n→∞



     § 2.7. Теорема Больцано–Вейерштрасса
   Теорема 1 (Больцано–Вейерштрасса). Всякая
ограниченная последовательность имеет хотя бы один ча-
стичный предел.
   Другая ее формулировка: из всякой ограниченной по-
следовательности можно выделить сходящуюся подпо-
следовательность.
   Теорема Больцано–Вейерштрасса является следствием
более общей и более сильной теоремы.

   Теорема 2. Всякая последовательность имеет (в R)
верхний и нижний пределы.
    Д о к а з а т е л ь с т в о (для верхнего предела). Пусть
{an } — произвольная последовательность. X = {x: x ∈ R,
правее x бесконечно много элементов последовательности}.
1 случай. X = ∅. Это значит, что ∀ U (−∞) содержит
почти все элементы последовательности, т. е. ∃ lim an =
                                               n→∞
= −∞. Следовательно, −∞ — единственный частичный
предел {an }, так что a = lim an .
                          n→∞
2 случай. X 6= ∅. Тогда ∃ sup X = b, −∞ < b 6 +∞.
Покажем, что b = lim an . Возьмем произвольное ε > 0,
                    n→∞
и пусть b0ε ∈ Uε (b), b0ε < b. Тогда из определения верхней

Страницы