Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30 Глава 2. Предел последовательности
Упражнение 2. Пусть {r
n
} — каким-либо образом за-
нумерованная последовательность всех рациональных чи-
сел отрезка [0, 1]. Описать множество ее частичных преде-
лов.
Лемма 2. Последовательность имеет единственный в R
частичный предел тогда и только тогда, когда она сходится
в R.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала последователь-
ность {a
n
} сходится в R. Пусть {a
n
k
} — произвольная
ее подпоследовательность. По определению предела после-
довательности, любая окрестность U(a) содержит значе-
ния почти всех элементов последовательнос ти {a
n
}, а сле-
довательно, и почти все элементы подпоследовательности
{a
n
k
}. Следовательно, lim
n→∞
a
n
k
= a.
Пусть теперь последовательность {a
n
} имеет един-
ственный частичный предел. Обозначим его через a и по-
кажем, что ∃ lim
n→∞
a
n
= a. Допустим противное, т. е. что a
не является пределом последовательности. Тогда ∃ε
0
>
> 0 такое, что вне U
ε
0
(a) находятся значения бесконеч-
ного числа элементов последовательности. Построим под-
последовательность {a
n
k
}, все элементы которой лежат вне
U
ε
0
(a). Мы докажем вскоре теорему (обобщающую теорему
Больцано–Вейерштрасса), в силу которой последователь-
ность {a
n
k
} имеет частичный предел, который является
также и частичным пределом последовательнос ти {a
n
}. Он
не совпадает с a, так как a
n
k
6∈ U
ε
0
(a) ∀k, что противоре-
чит предположению о единственности частичного предела
последовательности {a
n
}. Следовательно, a = lim
n→∞
a
n
.
Определение. Верхним (нижним) пределом последо-
вательности {a
n
} называется наибольший (наименьший)
в R из ее частичных пределов .
Его обозначают символом lim
n→∞
a
n
( lim
n→∞
a
n
).
30            Глава 2. Предел последовательности

   Упражнение 2. Пусть {rn } — каким-либо образом за-
нумерованная последовательность всех рациональных чи-
сел отрезка [0, 1]. Описать множество ее частичных преде-
лов.
   Лемма 2. Последовательность имеет единственный в R
частичный предел тогда и только тогда, когда она сходится
в R.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала последователь-
ность {an } сходится в R. Пусть {ank } — произвольная
ее подпоследовательность. По определению предела после-
довательности, любая окрестность U (a) содержит значе-
ния почти всех элементов последовательности {an }, а сле-
довательно, и почти все элементы подпоследовательности
{ank }. Следовательно, lim ank = a.
                       n→∞
    Пусть теперь последовательность {an } имеет един-
ственный частичный предел. Обозначим его через a и по-
кажем, что ∃ lim an = a. Допустим противное, т. е. что a
              n→∞
не является пределом последовательности. Тогда ∃ ε0 >
> 0 такое, что вне Uε0 (a) находятся значения бесконеч-
ного числа элементов последовательности. Построим под-
последовательность {ank }, все элементы которой лежат вне
Uε0 (a). Мы докажем вскоре теорему (обобщающую теорему
Больцано–Вейерштрасса), в силу которой последователь-
ность {ank } имеет частичный предел, который является
также и частичным пределом последовательности {an }. Он
не совпадает с a, так как ank 6∈ Uε0 (a) ∀ k, что противоре-
чит предположению о единственности частичного предела
последовательности {an }. Следовательно, a = lim an .
                                                n→∞
   Определение. Верхним (нижним) пределом последо-
вательности {an } называется наибольший (наименьший)
в R из ее частичных пределов.
   Его обозначают символом lim an ( lim an ).
                               n→∞      n→∞

Страницы