Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

32 Глава 2. Предел последовательности
грани следует, что найдется x
0
ε
∈ X: b
0
ε
< x
0
ε
6 b. По-
этому правее b
0
ε
лежит бесконечное число элементов после-
довательности {a
n
}. Если b
00
> b, то b
00
6∈ X, так что правее
b
00
— не более конечного числа элементов последовательно-
сти. Следовательно, U
ε
(b) содержит бесконечное число эле-
ментов последовательности {a
n
} и, в силу произвольности
ε > 0, b — частичный предел {a
n
}.
Остается показать, что b — наибольший частичный
предел {a
n
}, т. е. b = lim
n→∞
a
n
. Допуская противное, пред-
положим, что существует частичный предел b
∗
> b. Тогда
всякая окрестность U (b
∗
) содержит бесконечно много эле-
ментов последовательности. Но это противоречит тому,
что при b < b
00
< b
∗
правее b
00
(как показано выше) — не
более конечного числа элементов последовательности. Сле-
довательно, b = lim
n→∞
a
n
.
Упражнение 1. Доказать теорему Больцано–Вейер-
штрасса с помощью стягивающейся системы вложенных
отрезков.
У к а з а н и е. В качестве первого отрезка рассмо-
треть отрезок, содержащий все элементы последовательно-
сти. Каждый из следующих отрезков получить делением
предыдущего отрезка пополам и выбора самой правой из
половин, содержащей бесконечное число элементов после-
довательности.
§ 2.8. Критерий Коши
Определение. Последовательность {a
n
} называется
фундаментальной, если для нее выполнено условие Коши:
∀ε > 0 ∃n
ε
: |a
n
− a
m
| < ε ∀n, m > n
ε
. (1)
Теорема 1 (критерий Коши). Для сходимости
последовательности необходимо и дос таточно, чтобы она
была фундаментальной.
32            Глава 2. Предел последовательности

грани следует, что найдется x0ε ∈ X: b0ε < x0ε 6 b. По-
этому правее b0ε лежит бесконечное число элементов после-
довательности {an }. Если b00 > b, то b00 6∈ X, так что правее
b00 — не более конечного числа элементов последовательно-
сти. Следовательно, Uε (b) содержит бесконечное число эле-
ментов последовательности {an } и, в силу произвольности
ε > 0, b — частичный предел {an }.
    Остается показать, что b — наибольший частичный
предел {an }, т. е. b = lim an . Допуская противное, пред-
                        n→∞
положим, что существует частичный предел b∗ > b. Тогда
всякая окрестность U (b∗ ) содержит бесконечно много эле-
ментов последовательности. Но это противоречит тому,
что при b < b00 < b∗ правее b00 (как показано выше) — не
более конечного числа элементов последовательности. Сле-
довательно, b = lim an .
                  n→∞
    Упражнение 1. Доказать теорему Больцано–Вейер-
штрасса с помощью стягивающейся системы вложенных
отрезков.
    У к а з а н и е. В качестве первого отрезка рассмо-
треть отрезок, содержащий все элементы последовательно-
сти. Каждый из следующих отрезков получить делением
предыдущего отрезка пополам и выбора самой правой из
половин, содержащей бесконечное число элементов после-
довательности.

                 § 2.8. Критерий Коши
   Определение. Последовательность {an } называется
фундаментальной, если для нее выполнено условие Коши:
        ∀ε > 0    ∃ nε : |an − am | < ε ∀ n, m > nε .      (1)

   Теорема 1 (критерий Коши). Для сходимости
последовательности необходимо и достаточно, чтобы она
была фундаментальной.

Страницы