Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

34 Глава 2. Предел последовательности
§ 2.9. Изображение действительных чисел
бесконечными десятичными дробями
Определение. Полуинтервал
I
n
= [a
n
, a
n
) =
a
n
, a
n
+
1
10
n
будем называть десятичным полуинтервалом, если a
n
> 0,
a
n
= α
0
, α
1
α
2
, . . . , α
n
— n-значная десятичная дробь (α
0
∈
∈ N ∪ {0}, α
i
∈ {0, 1, . . . , 9} при i ∈ N).
Символом {I
n
} = {I
n
}
∞
n=0
= {[a
n
, a
n
)} будем обозначать
систему вложенных десятичных полуинтервалов. Оче-
видно, что a
n
↑, a
n
↓, a
n
− a
n
=
1
10
n
→ 0 при n → ∞.
Пусть задано a > 0. По аксиоме Архимеда, ∃n
0
∈ N:
n
0
> a. Найдем α
0
∈ N ∪ {0}: α
0
6 a < α
0
+ 1. Разобьем
полуинтервал I
0
B [α
0
, α
0
+1) на десять равных полуинтер-
валов и обозначим через I
1
тот из них, который содержит a:
I
1
=
α
0
, α
1
; α
0
, α
1
+
1
10
3 a.
Разобьем I
1
на 10 равных полуинтервалов и обозначим
через I
2
тот из них, который содержит a:
I
2
=
α
0
, α
1
α
2
; α
0
, α
1
α
2
+
1
100
3 a.
Продолжая процесс, получим систему вложенных де-
сятичных полуинтервалов {I
n
} с непустым пересечением,
I
n
= [a
n
, a
n
), a
n
= α
0
, α
1
, . . . , α
n
, a
n
= a
n
+
1
10
n
, I
n
3 a.
При этом a
n
(a
n
) называется нижним (верхним) n-значным
десятичным приближением числа a.
Мы установили соответствие
a → {I
n
} = {[a
n
, a
n
)}. (1)
Множество всех систем вложенных десятичных полуин-
тервалов с непустым пересечением обозначим через Ω.
34             Глава 2. Предел последовательности

     § 2.9. Изображение действительных чисел
        бесконечными десятичными дробями
     Определение. Полуинтервал
                                          
                                         1
             In = [an , an ) = an , an + n
                                        10
будем называть десятичным полуинтервалом, если an > 0,
an = α0 , α1 α2 , . . . , αn — n-значная десятичная дробь (α0 ∈
∈ N ∪ {0}, αi ∈ {0, 1, . . . , 9} при i ∈ N).
   Символом {In } = {In }∞     n=0 = {[an , an )} будем обозначать
систему вложенных десятичных полуинтервалов. Оче-
видно, что an ↑, an ↓, an − an = 101n → 0 при n → ∞.
   Пусть задано a > 0. По аксиоме Архимеда, ∃ n0 ∈ N:
n0 > a. Найдем α0 ∈ N ∪ {0}: α0 6 a < α0 + 1. Разобьем
полуинтервал I0 B [α0 , α0 +1) на десять равных полуинтер-
валов и обозначим через I1 тот из них, который содержит a:
                                             
                                            1
                 I1 = α0 , α1 ; α0 , α1 +        3 a.
                                           10
   Разобьем I1 на 10 равных полуинтервалов и обозначим
через I2 тот из них, который содержит a:
                                             
                                           1
           I2 = α0 , α1 α2 ; α0 , α1 α2 +       3 a.
                                          100
   Продолжая процесс, получим систему вложенных де-
сятичных полуинтервалов {In } с непустым пересечением,
In = [an , an ), an = α0 , α1 , . . . , αn , an = an + 101n , In 3 a.
При этом an (an ) называется нижним (верхним) n-значным
десятичным приближением числа a.
   Мы установили соответствие
                     a → {In } = {[an , an )}.                   (1)
   Множество всех систем вложенных десятичных полуин-
тервалов с непустым пересечением обозначим через Ω.

Страницы