Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2.6. Подпоследовательности 29
Лемма 1. Отбрасывание конечного числа первых чле-
нов последовательности не влияет ни на сходимость, ни на
величину предела (в случае сходимости).
Упражнение 1. Доказать лемму.
Определение 2. Частичным пределом последова-
тельности называется предел какой-либо ее подпоследова-
тельности, сходящейся в R.
Определение 3. Частичным пределом последова-
тельности называется элемент µ ∈ R, любая окрестность
U(µ) которого содержит бесконечное число элементов по-
следовательности.
Д о к а з а т е л ь с т в о эквивалентности определений 2
и 3.
Покажем сначала, что из определения 2 следует опреде-
ление 3. Пусть µ является частичным пределом в смысле
определения 2. Тогда, по определению предела, в любой
U(µ) содержатся почти все элементы некоторой подпосле-
довательности. Следовательно, µ удовлетворяет определе-
нию 1.
Покажем теперь, что определение 2 следует из опреде-
ления 3. Пусть µ является частичным пределом в смы-
сле определения 3. Выберем какой-либо элемент последо-
вательности x
n
1
∈ U
1
(µ), затем выб е рем какой-либо эле-
мент последовательности x
n
2
∈ U
1
2
(µ), удовлетворяющий
условию n
2
> n
1
. Это возможно, так как U
1
2
(µ) содержит
бесконечное число э лементов. Выберем затем x
n
3
∈ U
1
3
(µ),
n
3
> n
2
. Продолжая процесс, получим подпоследователь-
ность {x
n
k
}, сходящуюся в R к µ, так как при ∀ε > 0 U
ε
(µ)
содержит все ее члены, начиная с члена с номером k
ε
, где
k
ε
>
1
ε
.
Пример. Последовательность (2.1.1) имеет в точности
два частичных предела: 0 и 1.
               § 2.6. Подпоследовательности               29

   Лемма 1. Отбрасывание конечного числа первых чле-
нов последовательности не влияет ни на сходимость, ни на
величину предела (в случае сходимости).

   Упражнение 1. Доказать лемму.
   Определение 2.       Частичным пределом последова-
тельности называется предел какой-либо ее подпоследова-
тельности, сходящейся в R.
    Определение 3. Частичным пределом последова-
тельности называется элемент µ ∈ R, любая окрестность
U (µ) которого содержит бесконечное число элементов по-
следовательности.
    Д о к а з а т е л ь с т в о эквивалентности определений 2
и 3.
    Покажем сначала, что из определения 2 следует опреде-
ление 3. Пусть µ является частичным пределом в смысле
определения 2. Тогда, по определению предела, в любой
U (µ) содержатся почти все элементы некоторой подпосле-
довательности. Следовательно, µ удовлетворяет определе-
нию 1.
    Покажем теперь, что определение 2 следует из опреде-
ления 3. Пусть µ является частичным пределом в смы-
сле определения 3. Выберем какой-либо элемент последо-
вательности xn1 ∈ U1 (µ), затем выберем какой-либо эле-
мент последовательности xn2 ∈ U 1 (µ), удовлетворяющий
                                       2
условию n2 > n1 . Это возможно, так как U 1 (µ) содержит
                                               2
бесконечное число элементов. Выберем затем xn3 ∈ U 1 (µ),
                                                         3
n3 > n2 . Продолжая процесс, получим подпоследователь-
ность {xnk }, сходящуюся в R к µ, так как при ∀ ε > 0 Uε (µ)
содержит все ее члены, начиная с члена с номером kε , где
kε > 1ε .
    Пример. Последовательность (2.1.1) имеет в точности
два частичных предела: 0 и 1.

Страницы