Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2.5. Число e 27
конечен (т. е. является числом), если последовательность
{a
n
} ограничена сверху, и равен +∞, если последователь-
ность не ограничена сверху.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a B sup{a
n
} 6 +∞. То-
гда, по определению верхней грани, a
n
6 a ∀n ∈ N и для
∀ε > 0 ∃n
ε
∈ N: a
n
ε
∈ U
ε
(a). Поскольку a
n
ε
6 a
n
6 a при
n > n
ε
, получаем, что
a
n
∈ U
ε
(a) ∀n > n
ε
.
Это означает, что lim
n→∞
a
n
= a, что и требовалось доказать.
Упражнение 1. Сформулировать и доказать анало-
гичную теорему для убывающей последовательности.
Пример. Пусть {[a
n
, b
n
]} — стягивающаяся система
вложенных отрезков, ξ — (единственная) общая (для всех
отрезков) точка.
Тогда {a
n
} — возрастающая, {b
n
} — убывающая после-
довательности. Поскольку lim
n→∞
a
n
= ξ, с помощью доказан-
ной теоремы заключаем, что sup{a
n
} = ξ.
Аналогично получаем, что inf{b
n
} = ξ.
§ 2.5. Число e
Определение. e B lim
n→∞
1 +
1
n
n
.
Покажем, что этот предел существует и конечен. Будем
пользоваться неравенством Бернулли:
(1 + h)
n
> 1 + nh при h > 0, n ∈ N, n > 2. (1)
Упражнение 1. Доказать (1), используя метод мате-
матической индукции.
Рассмотрим вспомогательную последовательность
{x
n
}, x
n
=
1 +
1
n
n+1
> 1 +
n + 1
n
> 2. Как видим, после-
довательность {x
n
} ограничена снизу числом 2. Покажем,
                       § 2.5. Число e                             27

конечен (т. е. является числом), если последовательность
{an } ограничена сверху, и равен +∞, если последователь-
ность не ограничена сверху.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a B sup{an } 6 +∞. То-
гда, по определению верхней грани, an 6 a ∀ n ∈ N и для
∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N: anε ∈ Uε (a). Поскольку anε 6 an 6 a при
n > nε , получаем, что
                   an ∈ Uε (a) ∀ n > nε .
Это означает, что lim an = a, что и требовалось доказать.
                   n→∞
   Упражнение 1. Сформулировать и доказать анало-
гичную теорему для убывающей последовательности.
   Пример. Пусть {[an , bn ]} — стягивающаяся система
вложенных отрезков, ξ — (единственная) общая (для всех
отрезков) точка.
   Тогда {an } — возрастающая, {bn } — убывающая после-
довательности. Поскольку lim an = ξ, с помощью доказан-
                               n→∞
ной теоремы заключаем, что sup{an } = ξ.
   Аналогично получаем, что inf{bn } = ξ.

                       § 2.5. Число e
                                          n
   Определение. e B lim                1
                                    1+ n        .
                         n→∞
   Покажем, что этот предел существует и конечен. Будем
пользоваться неравенством Бернулли:
   (1 + h)n > 1 + nh     при    h > 0,          n ∈ N,   n > 2.   (1)

   Упражнение 1. Доказать (1), используя метод мате-
матической индукции.
   Рассмотрим вспомогательную последовательность
                 n+1
                1
{xn }, xn = 1 + n      > 1+ n+  1
                              n > 2. Как видим, после-
довательность {xn } ограничена снизу числом 2. Покажем,

Страницы