Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26 Глава 2. Предел последовательности
которых lim
n→∞
α
n
β
n
= 0, lim
n→∞
α
n
β
n
= ∞, lim
n→∞
α
n
β
n
= 1, lim
n→∞
α
n
β
n
не существует.
Определение. Последовательность {a
n
} называется
бесконечно большой, если lim
n→∞
a
n
= ∞.
Арифметические свойства пределов последовательно-
стей не переносятся на бесконечно большие последователь-
ности. Например: {a
n
} = {n + (−1)
n
}, {b
n
} = {n} — беско-
нечно большие последовательности, но {a
n
−b
n
} = {(−1)
n
}
не сходится даже в
ˆ
R.
§ 2.4. Предел монотонной последовательности
Определение. Верхней (нижней) гранью последова-
тельности называется верхняя (нижняя) грань множества
значений ее элементов. При этом используются обозначе-
ния соответственно sup{a
n
}, inf{a
n
}.
Каждая последовательность имеет в R верхнюю и ниж-
нюю грани.
Определение. Последовательность {a
n
} называется
возрастающей (убывающей), если a
n
6 a
n+1
(a
n
> a
n+1
)
∀n ∈ N.
Возрастающие и убывающие последовательности назы-
ваются монотонными.
Определение. Последовательность {a
n
} называется
строго возрастающей (строго убывающей), если a
n
<
< a
n+1
(a
n
> a
n+1
) ∀n ∈ N.
Строго возрастающие и строго убывающие последова-
тельности называются строго монотонными.
З а м е ч а н и е 1. Возрастающие последова-
тельности называют также неубывающими, а убывающие
— невозрастающими.
Теорема 1. Вс якая возрастающая последовательность
{a
n
} имеет предел в R lim
n→∞
a
n
= sup{a
n
}. Этот предел
26           Глава 2. Предел последовательности

которых lim α  n = 0, lim αn = ∞, lim αn = 1, lim αn
        n→∞ βn        n→∞ βn      n→∞ βn      n→∞ βn
не существует.
   Определение. Последовательность {an } называется
бесконечно большой, если lim an = ∞.
                          n→∞
    Арифметические свойства пределов последовательно-
стей не переносятся на бесконечно большие последователь-
ности. Например: {an } = {n + (−1)n }, {bn } = {n} — беско-
нечно большие последовательности, но {an − bn } = {(−1)n }
не сходится даже в R̂.

 § 2.4. Предел монотонной последовательности
   Определение. Верхней (нижней) гранью последова-
тельности называется верхняя (нижняя) грань множества
значений ее элементов. При этом используются обозначе-
ния соответственно sup{an }, inf{an }.
   Каждая последовательность имеет в R верхнюю и ниж-
нюю грани.
    Определение. Последовательность {an } называется
возрастающей (убывающей), если an 6 an+1 (an > an+1 )
∀ n ∈ N.
    Возрастающие и убывающие последовательности назы-
ваются монотонными.
   Определение. Последовательность {an } называется
строго возрастающей (строго убывающей), если an <
< an+1 (an > an+1 ) ∀ n ∈ N.
   Строго возрастающие и строго убывающие последова-
тельности называются строго монотонными.
   З а м е ч а н и е 1. Возрастающие последова-
тельности называют также неубывающими, а убывающие
— невозрастающими.
    Теорема 1. Всякая возрастающая последовательность
{an } имеет предел в R lim an = sup{an }. Этот предел
                        n→∞

Страницы