Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2.3. Свойства пределов, связанные с арифм. операциями 25
2.
◦
lim
n→∞
a
n
b
n
= ab;
3.
◦
Если b
n
6= 0 (∀n ∈ N), b 6= 0, то lim
n→∞
a
n
b
n
=
a
b
.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для свойства 3
◦
.
Положим α
n
= a − a
n
, β
n
= b − b
n
. Тогда в силу свойства
1
◦
α
n
→ 0, β
n
→ 0 при n → ∞. Оценим разность между
a
n
b
n
и предполагаемым пределом
a
b
.
∆
n
=
a
b
−
a
n
b
n
=
ab
n
− ba
n
bb
n
=
=
|a(b −β
n
) − b(a − α
n
)|
|bb
n
|
6
|a|
|bb
n
|
|β
n
| +
1
|b
n
|
|α
n
|.
Возьмем ε > 0. Тогда ∃n
0
ε
, n
00
ε
, n
000
ε
∈ N такие, что |α
n
| <
< ε ∀n > n
0
ε
, |β
n
| < ε ∀n > n
00
ε
, |b
n
| = |b − β
n
| >
|b|
2
,
∀n > n
000
ε
.
Положим n
∗
ε
= max{n
0
ε
, n
00
ε
, n
000
ε
}. Тогда
∆
n
6
2|a|
b
2
ε +
2
|b|
ε = Mε при ∀n > n
∗
ε
,
так что ∆
n
не превосходит сколь угодно малого числа Mε
при всех достаточно больших n ∈ N, а это означает, по
определению предела последовательности, что ∃ lim
n→∞
a
n
b
n
=
=
a
b
.
Определение. Последовательность {α
n
} называется
бесконечно малой, если lim
n→∞
α
n
= 0.
Следствием арифметических свойств пределов последо-
вательностей является
Лемма 1.Сумма, разность и произведение двух беско-
нечно малых последовательностей являются бесконечно ма-
лыми последовательностями.
Упражнение 1. Построить примеры бесконечно ма-
лых последовательностей {α
n
}, {β
n
} (β
n
6= 0 ∀n ∈ N), для
  § 2.3. Свойства пределов, связанные с арифм. операциями           25

    2.◦ lim an bn = ab;
         n→∞
    3.◦ Если bn 6= 0 (∀ n ∈ N), b 6= 0, то lim ab n = ab .
                                           n→∞ n
   Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для свойства 3◦ .
Положим αn = a − an , βn = b − bn . Тогда в силу свойства
1◦ αn → 0, βn → 0 при n → ∞. Оценим разность между ab n
                                                                     n
и предполагаемым пределом ab .
         a an        abn − ban
∆n =       −     =               =
         b   bn         bbn
                |a(b − βn ) − b(a − αn )|    |a|             1
              =                           6        |βn | +       |αn |.
                          |bbn |            |bbn |         |bn |
    Возьмем ε > 0. Тогда ∃ n0ε , n00ε , n000
                                         ε ∈ N такие, что |αn | <
                                                                   |b|
< ε ∀ n > n0ε , |βn | < ε ∀ n > n00ε , |bn | = |b − βn | > 2 ,
∀ n > n000
       ε .
    Положим n∗ε = max{n0ε , n00ε , n000
                                    ε }. Тогда
               2|a|     2
             ∆n 6 2
                    ε+     ε = M ε при ∀ n > n∗ε ,
                b      |b|
так что ∆n не превосходит сколь угодно малого числа M ε
при всех достаточно больших n ∈ N, а это означает, по
определению предела последовательности, что ∃ lim ab n =
                                                           n→∞ n
= ab .
   Определение. Последовательность {αn } называется
бесконечно малой, если lim αn = 0.
                             n→∞
   Следствием арифметических свойств пределов последо-
вательностей является
   Лемма 1.Сумма, разность и произведение двух беско-
нечно малых последовательностей являются бесконечно ма-
лыми последовательностями.
   Упражнение 1. Построить примеры бесконечно ма-
лых последовательностей {αn }, {βn } (βn 6= 0 ∀ n ∈ N), для

Страницы