Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

24 Глава 2. Предел последовательности
Приведенные два определения, очевидно, эквивалентны
(равносильны).
Теорема 1. Сходящаяся последовательность ограни-
чена. Обратное неверно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность {a
n
}
сходится и a = lim
n→∞
a
n
. Тогда для ε = 1 ∃n
1
∈ N: |a −a
n
| <
< 1 ∀n > n
1
, так что
a − 1 < a
n
< a + 1 ∀n > n
1
.
Пусть b
1
B max{a + 1, a
1
, a
2
, . . . , a
n
1
−1
}. Очевидно, что
{a
n
} ограничена сверху числом b
1
. Аналогично показыва-
ется, что {a
n
} ограничена снизу. Последовательность {a
n
}
ограничена в силу ее ограниченности сверху и снизу.
Пример последовательности (2.1.1) показывает, что не
всякая ограниченная последовательность сходится.
Следующие три свойства показывают связь между не-
равенствами и предельным переходом. В них пределы a, b ∈
∈ R.
1.
◦
a
n
6 b
n
6 c
n
, lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a ⇒ ∃ lim
n→∞
b
n
= a;
2.
◦
lim
n→∞
a
n
= a, a < b ⇒ ∃n
b
∈ N: a
n
< b ∀n > n
b
;
3.
◦
lim
n→∞
a
n
= a, a
n
6 b ⇒ a 6 b ( lim
n→∞
a
n
= a, a
n
> b ⇒
⇒ a > b).
Следствие. lim
n→∞
a
n
= a, |a
n
| 6 b ⇒ |a| 6 b.
Упражнение 1. Показать, что свойство 3
◦
не сохра-
няется при замене знаков 6 на < .
§ 2.3. Свойства пределов, связанные
с арифметическими операциями
Теорема 1. Пусть существуют пределы lim
n→∞
a
n
= a ∈
∈ R, lim
n→∞
b
n
= b ∈ R. Тогда
1.
◦
lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = a + b, lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = a −b;
24             Глава 2. Предел последовательности

   Приведенные два определения, очевидно, эквивалентны
(равносильны).
   Теорема 1. Сходящаяся последовательность ограни-
чена. Обратное неверно.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность {an }
сходится и a = lim an . Тогда для ε = 1 ∃ n1 ∈ N: |a − an | <
                 n→∞
< 1 ∀ n > n1 , так что
                 a − 1 < an < a + 1 ∀ n > n1 .
    Пусть b1 B max{a + 1, a1 , a2 , . . . , an1 −1 }. Очевидно, что
{an } ограничена сверху числом b1 . Аналогично показыва-
ется, что {an } ограничена снизу. Последовательность {an }
ограничена в силу ее ограниченности сверху и снизу.
    Пример последовательности (2.1.1) показывает, что не
всякая ограниченная последовательность сходится.
    Следующие три свойства показывают связь между не-
равенствами и предельным переходом. В них пределы a, b ∈
∈ R.
    1.◦ an 6 bn 6 cn , lim an = lim cn = a ⇒ ∃ lim bn = a;
                       n→∞      n→∞                    n→∞
    2.◦ lim an = a, a < b ⇒ ∃ nb ∈ N: an < b ∀ n > nb ;
        n→∞
     3.◦ lim an = a, an 6 b ⇒ a 6 b ( lim an = a, an > b ⇒
        n→∞                              n→∞
        ⇒ a > b).
     Следствие. lim an = a, |an | 6 b ⇒ |a| 6 b.
                    n→∞

   Упражнение 1. Показать, что свойство 3◦ не сохра-
няется при замене знаков 6 на < .

         § 2.3. Свойства пределов, связанные
           с арифметическими операциями
   Теорема 1. Пусть существуют пределы lim an = a ∈
                                       n→∞
∈ R, lim bn = b ∈ R. Тогда
      n→∞
     1.◦ lim (an + bn ) = a + b, lim (an − bn ) = a − b;
        n→∞                     n→∞

Страницы