Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 22 стр.

22           Глава 2. Предел последовательности

    Например, lim n1 = 0.
              n→∞
    Обобщим понятие предела (числовой) последовательно-
сти, рассматривая в качестве предела не только число, но
и какой-либо из символов +∞, −∞, ∞. Для этого рассмо-
трим множества R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} и R̂ = R ∪ {∞}.
    Определение. Пусть ε > 0. ε-окрестностью числа
a называется Uε = (a − ε, a + ε) — интервал с центром в
a; ε-окрестностью элемента a = +∞ ∈n R (a = −∞ ∈ R,     o
a = ∞ ∈ R̂) называется множество Uε = x : x ∈ R, x > 1ε
      n                  o       n                  o
(Uε = x : x ∈ R, x < − 1ε , Uε = x : x ∈ R, |x| > 1ε ).
    Через U (a) при a ∈ R̂ обозначается произвольная ε-ок-
рестность элемента a.
    Сформулируем общее определение предела последова-
тельности в терминах окрестностей.
    Определение. a ∈ R̂ называется пределом последова-
тельности {an }, если для ∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N: an ∈ Uε (a)
∀ n > nε .
    Это же определение можно перефразировать следую-
щим образом.
    Определение. a ∈ R̂ называется пределом последова-
тельности {an }, если в ∀ U (a) содержатся значения почти
всех (т. е. всех, за исключением, быть может, конечного
числа) элементов последовательности.
    Определение. Последовательность называется сходя-
щейся, если она имеет конечный (т. е. принадлежащий R)
предел. В противном случае последовательность называ-
ется расходящейся.
    Примерами расходящихся последовательностей явля-
ются {n} и последовательность (1).
    Определение. Последовательность называется сходя-
щейся в R (в R̂), если она имеет предел, принадлежащий R
(R̂).