Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 2
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 2.1. Определение предела последовательности
Определение. Пусть A — произвольное множество и
пусть каждому n ∈ N поставлен в соответствие некоторый
элемент a ∈ A. Тогда говорят, что задана последователь-
ность
a
1
, a
2
, a
3
, . . . ,
которая обозначается также символами {a
n
}, {a
n
}
∞
n=1
,
{a
n
}
n∈N
.
Пара (n, a
n
) называется n-м элементом последователь-
ности, a
n
— значением n-го элемента последовательности.
Всякая последовательность имеет счетное множество
элементов, множество значений элементов последователь-
ности может быть конечным или счетным. Например, мно-
жество значений элементов последовательности
0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . (1)
состоит из двух элементов: 0 и 1.
Мы будем рассматривать пока лишь последовательно-
сти со значениями из R и называть их числовыми последо-
вательностями или просто последовательностями.
З а м е ч а н и е 1. Часто вместо «значение
элемента последовательности» говорят «элемент последо-
вательности». Например, можно сказать: «Данный отре-
зок содержит бесконечно много элементов последовательно-
сти» и т.п.
Определение. Число a ∈ R называется пределом по-
следовательности {a
n
}, если для ∀ε > 0 ∃n
ε
∈ N:
|a −a
n
| < ε ∀n > n
ε
.
При этом пишут lim
n→∞
a
n
= a.
           Глава 2
 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

§ 2.1. Определение предела последовательности
    Определение. Пусть A — произвольное множество и
пусть каждому n ∈ N поставлен в соответствие некоторый
элемент a ∈ A. Тогда говорят, что задана последователь-
ность
                      a1 , a2 , a3 , . . . ,
которая обозначается также символами {an }, {an }∞   n=1 ,
{an }n∈N .
    Пара (n, an ) называется n-м элементом последователь-
ности, an — значением n-го элемента последовательности.
    Всякая последовательность имеет счетное множество
элементов, множество значений элементов последователь-
ности может быть конечным или счетным. Например, мно-
жество значений элементов последовательности
                     0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .           (1)
состоит из двух элементов: 0 и 1.
    Мы будем рассматривать пока лишь последовательно-
сти со значениями из R и называть их числовыми последо-
вательностями или просто последовательностями.
    З а м е ч а н и е 1. Часто вместо «значение
элемента последовательности» говорят «элемент последо-
вательности». Например, можно сказать: «Данный отре-
зок содержит бесконечно много элементов последовательно-
сти» и т.п.
   Определение. Число a ∈ R называется пределом по-
следовательности {an }, если для ∀ ε > 0 ∃ nε ∈ N:
                  |a − an | < ε ∀ n > nε .
   При этом пишут lim an = a.
                    n→∞

Страницы