Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1.5. Счетные и несчетные множества 19
Будем двигаться по клеткам этой таблицы из левого верх-
него угла по пути вида
нумеруя встречающиеся в клетках рациональные числа,
пропуская при этом те из них, которые ранее по пути уже
встречались. Очевидно, таким способом мы занумеруем
все рациональные числа всеми натуральными, что и тре-
бовалось показать.
Упражнение 2. Доказать, что объединение счетного
множества счетных множеств счетно.
Теорема 2 (Кантор). Множество всех точек отрезка
[0, 1] несчетно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное. Тогда
все точки отрезка [0, 1] можно зануме ровать: x
1
, x
2
, x
3
, . . .
Поделим отрезок [0, 1] на три равных отрезка и обозначим
через [a
1
, b
1
] один из них, свободный от точки x
1
. Поде-
лим [a
1
, b
1
] на три равных отрезка и обозначим через [a
2
, b
2
]
один из них, свободный от точки x
2
. Продолжая процесс,
получим систему вложенных отрезков {[a
n
, b
n
]}
∞
n=1
. По те-
ореме о вложенных отрезках существует точка c, принад-
лежащая всем отрезкам системы. Эта точка c не совпадает
ни с одной из занумерованных точек x
1
, x
2
, x
3
, . . . , так как
произвольная из них x
j
не содержится в отрезке [a
j
, b
j
], в
то время как c содержится в этом отрезке.
Итак, допуская, что все точки отрезка [0, 1] занумеро-
ваны, мы пришли к противоречию, найдя точку c ∈ [0, 1],
отличную от каждой из занумерованных. Это противоре-
чие показывает, что наше допущение неверно. Теорема до-
казана.
            § 1.5. Счетные и несчетные множества              19

Будем двигаться по клеткам этой таблицы из левого верх-
него угла по пути вида




нумеруя встречающиеся в клетках рациональные числа,
пропуская при этом те из них, которые ранее по пути уже
встречались. Очевидно, таким способом мы занумеруем
все рациональные числа всеми натуральными, что и тре-
бовалось показать.
   Упражнение 2. Доказать, что объединение счетного
множества счетных множеств счетно.

     Теорема 2 (Кантор). Множество всех точек отрезка
[0, 1] несчетно.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное. Тогда
все точки отрезка [0, 1] можно занумеровать: x1 , x2 , x3 , . . .
Поделим отрезок [0, 1] на три равных отрезка и обозначим
через [a1 , b1 ] один из них, свободный от точки x1 . Поде-
лим [a1 , b1 ] на три равных отрезка и обозначим через [a2 , b2 ]
один из них, свободный от точки x2 . Продолжая процесс,
получим систему вложенных отрезков {[an , bn ]}∞   n=1 . По те-
ореме о вложенных отрезках существует точка c, принад-
лежащая всем отрезкам системы. Эта точка c не совпадает
ни с одной из занумерованных точек x1 , x2 , x3 , . . . , так как
произвольная из них xj не содержится в отрезке [aj , bj ], в
то время как c содержится в этом отрезке.
    Итак, допуская, что все точки отрезка [0, 1] занумеро-
ваны, мы пришли к противоречию, найдя точку c ∈ [0, 1],
отличную от каждой из занумерованных. Это противоре-
чие показывает, что наше допущение неверно. Теорема до-
казана.

Страницы