Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1.4. Связь между различными принципами непрерывности 17
В следующей диаграмме
IV
D
⇒ IV
sup
t
u
IV
K
(A)
)
⇒ IV
D
приняты обозначения:
IV
D
— вариант принципа Дедекинда,
IV
sup
— принцип верхней грани, т. е. утверждение те-
оремы 1.2.2,
IV
K
— принцип Кантора, т. е. утверждение тео-
ремы 1.3.1,
(A) — принцип Архимеда.
Эта диаграмма показывает, что перечисленные принципы
эквивалентны. Любой из них (IV
K
в сочетании с (A))
можно было бы взять в качестве аксиомы непрерывности
при определении множества действительных чисел, а дру-
гие доказать в качестве теорем.
Два из указанных в диаграмме логических следс твий
уже установлены, другие два предлагается доказать чита-
телю в качестве упражнения. Было доказано также, что
IV
D
⇒ IV
K
.
Теорема 2 (принцип математической индукции).
Пусть множество A ⊂ N обладает свойствами:
1.
◦
A 3 1;
2.
◦
A 3 n ⇒ A 3 n + 1.
Тогда A = N.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Последовательно убеждаемся,
что A 3 2 B 1 + 1, A 3 3 B 2 + 1, . . . Следовательно,
A ⊃ N. Отсюда и из A ⊂ N следует A = N.
З а м е ч а н и е 1. Мы видим, что принцип мате-
матической индукции следует непосредственно из определе-
ния множества натуральных чисел. Существуют и другие
построения теории действительных чисел, в которых этот
принцип берется в качестве аксиомы.
 § 1.4. Связь между различными принципами непрерывности 17

   В следующей диаграмме
                                   )
                          t IVK
              IVD ⇒ IVsup              ⇒ IVD
                          u (A)
приняты обозначения:
    IVD — вариант принципа Дедекинда,
   IVsup — принцип верхней грани, т. е. утверждение те-
           оремы 1.2.2,
    IVK — принцип Кантора, т. е. утверждение тео-
           ремы 1.3.1,
     (A) — принцип Архимеда.
Эта диаграмма показывает, что перечисленные принципы
эквивалентны. Любой из них (IVK в сочетании с (A))
можно было бы взять в качестве аксиомы непрерывности
при определении множества действительных чисел, а дру-
гие доказать в качестве теорем.
    Два из указанных в диаграмме логических следствий
уже установлены, другие два предлагается доказать чита-
телю в качестве упражнения. Было доказано также, что
IVD ⇒ IVK .
   Теорема 2 (принцип математической индукции).
Пусть множество A ⊂ N обладает свойствами:
   1.◦ A 3 1;
   2.◦ A 3 n ⇒ A 3 n + 1.
Тогда A = N.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Последовательно убеждаемся,
что A 3 2 B 1 + 1, A 3 3 B 2 + 1, . . . Следовательно,
A ⊃ N. Отсюда и из A ⊂ N следует A = N.
   З а м е ч а н и е 1. Мы видим, что принцип мате-
матической индукции следует непосредственно из определе-
ния множества натуральных чисел. Существуют и другие
построения теории действительных чисел, в которых этот
принцип берется в качестве аксиомы.

Страницы