Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1.3. Система вложенных отрезков 15
Это обобщающее определение будет отличаться от приве-
денных выше лишь тем, что в качестве b (a) можно брать
не только число, но и элемент +∞ (−∞).
Тогда получим, что для непустого неограниченного
сверху (снизу) числового множества X
sup X = +∞ (inf X = −∞).
Учитывая теорему 2, приходим к выводу, что всякое не-
пустое числовое множество имеет в расширенном множе-
стве действительных чисел R как верхнюю, так и нижнюю
грани.
§ 1.3. Система вложенных отрезков
Определение. Множество отрезков
{[a
1
, b
1
], [a
2
, b
2
], . . .}, −∞ < a
n
< b
n
< +∞ ∀n ∈ N
называется системой вложенных отрезков, если [a
n
, b
n
] ⊃
⊃ [a
n+1
, b
n+1
] ∀n ∈ N, т. е. каждый отрезок содержит
следующий за ним.
В следующей теореме формулируется свойство, эквива-
лентное аксиоме непрерывности и называемое непрерывно-
стью множества действительных чисел по Кантору.
Теорема 1. Для всякой системы вложенных отрезков
существует точка, принадлежащая всем отрезкам данной
системы.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для системы вложенных отрез-
ков {[a
n
, b
n
]} рассмотрим два непустых множества A =
= {a
n
} и B = {b
n
}.
Очевидно, что ∀n, m ∈ N
a
n
6 a
n+m
6 b
n+m
6 b
m
.
В силу аксиомы непрерывности существует число c такое,
что
a
n
6 c 6 b
m
∀n, m ∈ N.
                 § 1.3. Система вложенных отрезков                15

Это обобщающее определение будет отличаться от приве-
денных выше лишь тем, что в качестве b (a) можно брать
не только число, но и элемент +∞ (−∞).
   Тогда получим, что для непустого неограниченного
сверху (снизу) числового множества X
                   sup X = +∞           (inf X = −∞).
Учитывая теорему 2, приходим к выводу, что всякое не-
пустое числовое множество имеет в расширенном множе-
стве действительных чисел R как верхнюю, так и нижнюю
грани.

          § 1.3. Система вложенных отрезков
   Определение. Множество отрезков
  {[a1 , b1 ], [a2 , b2 ], . . .},   −∞ < an < bn < +∞   ∀n ∈ N
называется системой вложенных отрезков, если [an , bn ] ⊃
⊃ [an+1 , bn+1 ] ∀ n ∈ N, т. е. каждый отрезок содержит
следующий за ним.
   В следующей теореме формулируется свойство, эквива-
лентное аксиоме непрерывности и называемое непрерывно-
стью множества действительных чисел по Кантору.
   Теорема 1. Для всякой системы вложенных отрезков
существует точка, принадлежащая всем отрезкам данной
системы.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Для системы вложенных отрез-
ков {[an , bn ]} рассмотрим два непустых множества A =
= {an } и B = {bn }.
   Очевидно, что ∀ n, m ∈ N
                        an 6 an+m 6 bn+m 6 bm .
В силу аксиомы непрерывности существует число c такое,
что
               an 6 c 6 bm ∀ n, m ∈ N.

Страницы