Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1.2. Верхние и нижние грани 13
2.
◦
∀a
0
> a ∃x
a
0
∈ X: x
a
0
< a
0
или иначе: ∀ε > 0 ∃x
ε
∈
∈ X: x
ε
< a + ε.
Верхняя и нижняя грани множества X обозначаются со-
ответственно символами sup X, inf X.
Примеры.
sup[a, b] = b, sup(a, b) = b.
Отметим, что верхняя грань множества может как принад-
лежать, так и не принадлежать этому множеству, ср. слу-
чаи [a, b], (a, b).
Теорема 1 (единственности). Числовое множество
не может иметь больше одной верхней (нижней) грани.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для случая
верхней грани. Допуская противное, предположим, что ка-
ждое из чисел b и b
0
(b 6= b
0
) является ве рхней гранью мно-
жества X. Пусть, для определенности, b
0
< b. Тогда, в
силу того, что b = sup X, из определения верхней грани
следует, что для числа b
0
∃x
b
0
: x
b
0
∈ X, x
b
0
> b
0
. Но тогда
b
0
не является верхней гранью X. Из полученного противо-
речия следует ошибочнос ть предположения и утверждение
теоремы.
Заметим, что в условиях теоремы не предполагается
существование верхней (нижней) грани. Теорема утвер-
ждает, что если верхняя (нижняя) грань существует, то
она единственна.
Значительно более глубокой (эквивалентной аксиоме не-
прерывности) является теорема о существовании верхней
грани.
Теорема 2 (о существовании верхней грани). Вс я-
кое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множе-
ство имее т верхнюю (нижнюю) грань.
               § 1.2. Верхние и нижние грани               13

   2.◦ ∀ a0 > a ∃ xa0 ∈ X: xa0 < a0 или иначе: ∀ ε > 0 ∃ xε ∈
       ∈ X: xε < a + ε.
   Верхняя и нижняя грани множества X обозначаются со-
ответственно символами sup X, inf X.
   Примеры.
                sup[a, b] = b,   sup(a, b) = b.
Отметим, что верхняя грань множества может как принад-
лежать, так и не принадлежать этому множеству, ср. слу-
чаи [a, b], (a, b).

   Теорема 1 (единственности). Числовое множество
не может иметь больше одной верхней (нижней) грани.
    Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для случая
верхней грани. Допуская противное, предположим, что ка-
ждое из чисел b и b0 (b 6= b0 ) является верхней гранью мно-
жества X. Пусть, для определенности, b0 < b. Тогда, в
силу того, что b = sup X, из определения верхней грани
следует, что для числа b0 ∃ xb0 : xb0 ∈ X, xb0 > b0 . Но тогда
b0 не является верхней гранью X. Из полученного противо-
речия следует ошибочность предположения и утверждение
теоремы.
    Заметим, что в условиях теоремы не предполагается
существование верхней (нижней) грани. Теорема утвер-
ждает, что если верхняя (нижняя) грань существует, то
она единственна.
    Значительно более глубокой (эквивалентной аксиоме не-
прерывности) является теорема о существовании верхней
грани.

   Теорема 2 (о существовании верхней грани). Вся-
кое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множе-
ство имеет верхнюю (нижнюю) грань.

Страницы