Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 12 стр.

12         Глава 1. Множество действительных чисел

Примеры числовых множеств.
   Множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, . . . }, где
2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, . . .
   Множество целых чисел Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .}.
   Множество рациональных
                     n         чисел       o
                            p
                Q = x: x = q , q ∈ N, p ∈ Z .
   Отрезок, интервал, полуинтервалы
     [a, b] B {x : a 6 x 6 b},   (a, b) B {x : a < x < b},
     (a, b] B {x : a < x 6 b},   [a, b) B {x : a 6 x < b}.
   Множество действительных чисел R часто называют
числовой прямой, а числа — точками числовой прямой.

           § 1.2. Верхние и нижние грани
   Определение. Множество X ⊂ R называется ограни-
ченным сверху (снизу), если существует число b (число a)
такое, что x 6 b ∀ x ∈ X (x > a ∀ x ∈ X).
   При этом говорят, что число b (число a) ограничивает
множество X сверху (снизу).
   Определение. Множество X ⊂ R называется ограни-
ченным, если оно ограничено сверху и снизу.
   Определение. Множество X ⊂ R называется неогра-
ниченным (сверху, снизу), если оно не является ограничен-
ным (сверху, снизу).
  Определение. Верхней гранью непустого множества
X ⊂ R называется число b, удовлетворяющее условиям:
   1.◦ x 6 b ∀ x ∈ X;
   2.◦ ∀ b0 < b ∃ xb0 ∈ X: xb0 > b0 или иначе: ∀ ε > 0 ∃ xε ∈
       ∈ X: xε > b − ε.
  Определение. Нижней гранью непустого множества
X ⊂ R называется число a, удовлетворяющее условиям:
   1.◦ x > a ∀ x ∈ X;