Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 1
МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
§ 1.1. Аксиоматика
Определение. Непустое множество R называется
множеством действительных (вещественных ) чисел, а
его элементы — действительными (вещественными) чи-
слами, если на R определены операции сложения и умно-
жения и отношение порядка, удовлетворяющие следующим
аксиомам.
(I) Аксиомы сложения (a, b → a + b)
1. a + b = b + a ∀a, b ∈ R (коммутативность);
2. a + (b + c) = (a + b) + c ∀a, b, c ∈ R (ассоциативность);
3. ∃0 ∈ R: a + 0 = a ∀a ∈ R;
4. ∀a ∈ R ∃(−a): a + (−a) = 0, (−a) называется проти-
воположным числом для a.
(II) Аксиомы умножения (a, b → ab)
1. ab = ba ∀a, b ∈ R (коммутативность);
2. a(bc) = (ab)c ∀a, b, c ∈ R (ассоциативность);
3. ∃1 ∈ R, 1 6= 0: a1 = a ∀a ∈ R;
4. ∀a ∈ R, a 6= 0, ∃
1
a
: a
1
a
= 1, (
1
a
называется обратным
числом для a).
(I–II) Связь сложения и умножения
1. (a + b)c = ac+bc ∀a, b, c ∈ R (дистрибутивность умно-
жения относительно сложения).
(III) Аксиомы порядка (для любых a, b ∈ R установлено
отношение a 6 b или b 6 a)
1. a 6 b, b 6 a ⇒ a = b ∀a, b ∈ R;
2. a 6 b, b 6 c ⇒ a 6 c ∀a, b, c ∈ R.
a 6 b записывается также в виде b > a, a 6 b при a 6= b
— в виде a < b и b > a.
         Глава 1
МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
         ЧИСЕЛ

                   § 1.1. Аксиоматика
    Определение.        Непустое множество R называется
множеством действительных (вещественных ) чисел, а
его элементы — действительными (вещественными) чи-
слами, если на R определены операции сложения и умно-
жения и отношение порядка, удовлетворяющие следующим
аксиомам.
(I) Аксиомы сложения (a, b → a + b)
  1. a + b = b + a ∀ a, b ∈ R (коммутативность);
  2. a + (b + c) = (a + b) + c ∀ a, b, c ∈ R (ассоциативность);
  3. ∃ 0 ∈ R: a + 0 = a ∀ a ∈ R;
  4. ∀ a ∈ R ∃ (−a): a + (−a) = 0, (−a) называется проти-
     воположным числом для a.
(II) Аксиомы умножения (a, b → ab)
  1. ab = ba ∀ a, b ∈ R (коммутативность);
  2. a(bc) = (ab)c ∀ a, b, c ∈ R (ассоциативность);
  3. ∃ 1 ∈ R, 1 6= 0: a1 = a ∀ a ∈ R;
  4. ∀ a ∈ R, a 6= 0, ∃ a1 : a a1 = 1, ( a1 называется обратным
     числом для a).
(I–II) Связь сложения и умножения
  1. (a + b)c = ac + bc ∀ a, b, c ∈ R (дистрибутивность умно-
     жения относительно сложения).
(III) Аксиомы порядка (для любых a, b ∈ R установлено
отношение a 6 b или b 6 a)
  1. a 6 b, b 6 a ⇒ a = b ∀ a, b ∈ R;
  2. a 6 b, b 6 c ⇒ a 6 c ∀ a, b, c ∈ R.
     a 6 b записывается также в виде b > a, a 6 b при a 6= b
     — в виде a < b и b > a.

Страницы