Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 11 стр.

                     § 1.1. Аксиоматика                  11

(I–III) Связь сложения и порядка
  1. a 6 b ⇒ a + c 6 b + c ∀ a, b, c ∈ R.
(II–III) Связь умножения и порядка
  1. 0 6 a, 0 6 b ⇒ 0 6 ab ∀ a, b ∈ R.
(IV) Аксиома непрерывностиIVD (вариант принципа
Дедекинда)
   Пусть A, B — непустые подмножества R такие, что
                  a6b    ∀ a ∈ A,     ∀ b ∈ B.
Тогда ∃ c ∈ R такое, что
                a6c6b      ∀ a ∈ A,     ∀ b ∈ B.
    З а м е ч а н и е 1. Множество Q рациональных
чисел удовлетворяет аксиомам (I), (II), (III), (I–III), (II–
III), но не удовлетворяет аксиоме (IV). Покажем последнее.
Пусть A = {a: a ∈ Q, a > 0, a2 < 2}, B = {b: b ∈ Q, b >
> 0, b2 > 2}. Тогда во множестве Q не существует числа c
(∈ Q) со свойством: a 6 c 6 b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B.
Некоторые следствия аксиом множества действи-
тельных чисел
  1. Число 0, противоположное к a число и решение урав-
     нения a + x = b единственны, x = b − a B b + (−a)
     ∀ a, b ∈ R.
  2. Число a1 , обратное к a (при a 6= 0) и решение уравне-
     ния ax = b (при a 6= 0) единственны,
                        b    1
                xB        Bb     ∀ a, b ∈ R, a 6= 0.
                        a    a
  3.   a 0 = 0 ∀ a ∈ R.
  4.   a, b ∈ R, ab = 0 ⇒ a = 0 или b = 0.
  5.   ∀ a, b ∈ R всегда имеет место одно и только одно из
       соотношений a < b, a = b, a > b.
  6.   0 < 1.