Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 14 стр.

14        Глава 1. Множество действительных чисел

   Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для верхней
грани. Пусть A — непустое ограниченное сверху множе-
ство. Рассмотрим непустое множество B, элементами ко-
торого являются все числа b, ограничивающие множество
A сверху.
   Тогда
                   a 6 b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B.
   Из аксиомы непрерывности следует, что для некоторого
c∈R
                 a 6 c 6 b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B.           (1)
Покажем, что sup A = c. Первое условие из определения
верхней грани выполнено в силу левого из неравенств (1).
   Покажем, что выполняется и второе. Пусть c0 < c. То-
гда c0 6∈ B, так как для каждого элемента из B выполняется
правое из неравенств (1). Следовательно, c0 не ограничи-
вает множество A сверху, т. е.
                   ∃ xc0 ∈ A : xc0 > c0 ,
так что второе условие также выполнено.
   Следовательно, c = sup A, и теорема доказана.
   Определение. Расширенным множеством действи-
тельных чисел R называется
                 R = R ∪ {−∞} ∪ {+∞},
т. е. элементами множества R являются все действитель-
ные числа и еще два элемента: −∞, +∞.
    Во множестве R не введены сложение и умножение, но
имеется отношение порядка. Для двух элементов a, b ∈ R
в случае a, b ∈ R отношение порядка то же, что в R. В
других же случаях оно определено так: −∞ < a, a < +∞,
−∞ < +∞ ∀ a ∈ R.
    Рассматривая множество X действительных чисел как
подмножество расширенного множества действительных
чисел (X ⊂ R), можно обобщить понятие sup X (inf X).