Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 16 стр.

16         Глава 1. Множество действительных чисел

     В частности, при m = n получаем, что
                   c ∈ [an , bn ] ∀ n ∈ N,
что и требовалось доказать.
    Определение. Система вложенных отрезков
{[an , bn ]}∞
            n=1 называется стягивающейся системой вло-
женных отрезков, если ∀ ε > 0 ∃ n ∈ N: bn − an < ε.

   Теорема 2. Стягивающаяся система вложенных отрез-
ков имеет ровно одну точку, принадлежащую всем отрез-
кам.
    Д о к а з а т е л ь с т в о. По крайней мере, одна общая
точка для отрезков рассматриваемой системы имеется в
силу теоремы 1. Покажем, что общих точек не больше
одной. Допуская противное, предположим, что каждая из
двух различных точек c и c0 является общей для всех от-
резков системы. Пусть, для определенности, c0 < c, т. е.
ε B c − c0 > 0. По определению стягивающей системы,
∃ n ∈ N: bn − an < ε. Тогда an 6 c0 < c 6 bn . Отсюда,
c − c0 6 c − an 6 bn − an < ε, что противоречит выбору ε.
Теорема доказана.

     § 1.4. Связь между различными принципами
                    непрерывности
   Теорема 1 (принцип Архимеда). Для ∀ a ∈ R: ∃ n ∈
∈ N: n > a .
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что теорема не-
верна. Это значит, что ∃ a ∈ R: n 6 a ∀ n ∈ N. Сле-
довательно, a ограничивает сверху множество N и по тео-
реме 1.2.2 ∃ b ∈ R: b = sup N. Тогда по определению верх-
ней грани для числа b0 B b − 1 ∃ n ∈ N: n > b − 1. Но тогда
n + 1 > b, n + 1 ∈ N, что противоречит тому, что b = sup N.
Этим теорема доказана.