Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 18 стр.

18            Глава 1. Множество действительных чисел

       § 1.5. Счетные и несчетные множества
   Определение. Будем говорить, что между двумя мно-
жествами X и Y установлено взаимно однозначное соот-
ветствие и писать X ↔ Y , если:
   1.◦ ∀ x ∈ X поставлен в соответствие один и только
       один элемент y ∈ Y (x → y);
   2.◦ если x1 6= x2 , x1 → y1 , x2 → y2 , то y1 6= y2 ;
   3.◦ ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X: x → y.
   Определение. Два множества X и Y называются
эквивалентными (пишут X ∼ Y ), если между ними можно
установить взаимно однозначное соответствие.
   Эквивалентные множества называют также равномощ-
ными, говорят, что они имеют одну и ту же мощность
(«одинаковое» количество элементов).
   Пример. N ∼ {2, 4, 6, 8, 10, . . .}.
   Определение. Множество называется счетным, если
оно эквивалентно множеству натуральных чисел, иначе го-
воря, если его можно занумеровать всеми натуральными
числами.
   Упражнение 1. Доказать, что бесконечное подмноже-
ство счетного множества счетно.

     Теорема 1. Множество рациональных чисел счетно.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим таблицу чисел (от-
крытую снизу и справа), содержащую все рациональные
числа.
     HHm
       n H 0         1    −1     2   −2   3   −3 . . .
         1      0/1 1/1 −1/1 2/1 −2/1 3/1 −3/1 . . .
         2      0/2 1/2 −1/2 2/2 −2/2 3/2 −3/2 . . .
         3      0/3 1/3 −1/3 2/3 −2/3 3/3 −3/3 . . .
         ..      ..  ..  ..   ..  ..   ..  ..    ..
          .       .   .   .    .   .    .   .     .