Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами 23
Расходящаяся последовательность {n} является сходя-
щейся в R и сходящейся в
ˆ
R.
Расходящаяся последовательность {(−1)
n
n} сходится в
ˆ
R, к ∞.
Бывает полезна формулировка в позитивных терминах
утверждения того, что число a не является пределом после-
довательности {a
n
}. Приведем ее.
Число a не является пределом последовательности {a
n
},
если ∃ε
0
> 0: ∀n
0
∈ N ∃n ∈ N, n > n
0
: |a
n
− a| > ε
0
.
Упражнение 1. Воспользовавшись этой формулиров-
кой, показать, что последовательность (1) расходится.
Теорема 1 (единственности). Числовая последова-
тельность не может иметь в R более одного предела.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предполагая противное, допу-
стим, что для данной последовательности {a
n
} каждый из
двух различных элементов a, a
0
∈ R является пределом.
Пусть ε > 0 столь мало, что U
ε
(a) ∩ U
ε
(a
0
) = ∅. Тогда
по определению предела ∃n
ε
∈ N (∃n
0
ε
∈ N), при котором
a
n
∈ U
ε
(a) ∀n > n
ε
(a
n
∈ U
ε
(a
0
) ∀n > n
0
ε
).
Положив ¯n
ε
= max{n
ε
, n
0
ε
}, получаем, что a
n
∈ U
ε
(a) ∩
∩U
ε
(a
0
) ∀n > ¯n, а это невозможно, так как это пересечение
пусто. Теорема доказана.
§ 2.2. Свойства пределов, связанные
с неравенствами
Определение. Последовательность {a
n
} называется
ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу),
если множество значений ее элементов ограничено (огра-
ничено сверху, ограничено снизу).
Определение. Последовательность {a
n
} называется
ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу),
если
∃b ∈ R : |a
n
| 6 b (a
n
6 b, a
n
> b) ∀n ∈ N.
    § 2.2. Свойства пределов, связанные с неравенствами   23

    Расходящаяся последовательность {n} является сходя-
щейся в R и сходящейся в R̂.
    Расходящаяся последовательность {(−1)n n} сходится в
R̂, к ∞.
    Бывает полезна формулировка в позитивных терминах
утверждения того, что число a не является пределом после-
довательности {an }. Приведем ее.
    Число a не является пределом последовательности {an },
если ∃ ε0 > 0: ∀ n0 ∈ N ∃ n ∈ N, n > n0 : |an − a| > ε0 .
    Упражнение 1. Воспользовавшись этой формулиров-
кой, показать, что последовательность (1) расходится.
   Теорема 1 (единственности). Числовая последова-
тельность не может иметь в R более одного предела.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Предполагая противное, допу-
стим, что для данной последовательности {an } каждый из
двух различных элементов a, a0 ∈ R является пределом.
Пусть ε > 0 столь мало, что Uε (a) ∩ Uε (a0 ) = ∅. Тогда
по определению предела ∃ nε ∈ N (∃ n0ε ∈ N), при котором
an ∈ Uε (a) ∀ n > nε (an ∈ Uε (a0 ) ∀ n > n0ε ).
   Положив n̄ε = max{nε , n0ε }, получаем, что an ∈ Uε (a) ∩
∩Uε (a0 ) ∀ n > n̄, а это невозможно, так как это пересечение
пусто. Теорема доказана.

       § 2.2. Свойства пределов, связанные
                 с неравенствами
   Определение. Последовательность {an } называется
ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу),
если множество значений ее элементов ограничено (огра-
ничено сверху, ограничено снизу).
   Определение. Последовательность {an } называется
ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу),
если
       ∃ b ∈ R : |an | 6 b   (an 6 b, an > b) ∀ n ∈ N.

Страницы