Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 Глава 2. Предел последовательности
что она является убывающей последовательностью:
x
n−1
x
n
=
1 +
1
n −1
n
1 +
1
n
n+1
=
n
n + 1
n
2
(n + 1)(n − 1)
n
=
=
n
n + 1
1 +
1
n
2
− 1
n
.
Используя неравенство Бернулли (1), получаем, что
x
n−1
x
n
>
n
n + 1
1 +
n
n
2
− 1
=
n
3
+ n
2
− n
n
3
+ n
2
− n − 1
> 1.
На основании теоремы о сходимости монотонной последо-
вательности заключаем, что
∃ lim
n→∞
x
n
∈ [2, x
1
] = [2, 4].
Но тогда существует и
e B lim
n→∞
x
n
1 +
1
n
=
lim
n→∞
x
n
lim
n→∞
1 +
1
n
= lim
n→∞
x
n
,
что и требовалось показать.
Можно показать, что e — иррациональное число, деся-
тичная запись которого
e = 2,718 . . .
§ 2.6. Подпоследовательности
Определение 1. Пусть {n
k
} — строго возрастающая
последовательность натуральных чисел. Тогда последова-
тельность {a
n
k
} = {a
n
k
}
∞
k=1
называется подпоследователь-
ностью последовательности {a
n
} = {a
n
}
∞
n=1
.
Пример. Последовательность 1, 3, 5, 7, . . . является
подпоследовательностью последовательности натуральных
чисел, а последовательность 1, 5, 3, 9, 7, . . . не является
подпоследовательностью натуральных чисел.
28            Глава 2. Предел последовательности

что она является убывающей последовательностью:
                 n
          1 +   1                           n
                                   n2
                            
xn−1          n−1        n
     =         n+1 =                         =
 xn           1        n + 1 (n + 1)(n − 1)
           1+ n
                                                    n
                                       n          1
                                  =         1+ 2        .
                                     n+1        n −1
   Используя неравенство Бернулли (1), получаем, что
                                n3 + n2 − n
                          
     xn−1     n         n
          >       1+ 2       = 3              > 1.
      xn    n+1       n −1     n + n2 − n − 1
На основании теоремы о сходимости монотонной последо-
вательности заключаем, что
                   ∃ lim xn ∈ [2, x1 ] = [2, 4].
                     n→∞
     Но тогда существует и
                     xn      lim xn
                            n→∞
         e B lim       =               = lim xn ,
             n→∞ 1 + 1
                               
                         lim 1 + n  1    n→∞
                     n        n→∞
что и требовалось показать.
   Можно показать, что e — иррациональное число, деся-
тичная запись которого
                           e = 2,718 . . .


            § 2.6. Подпоследовательности
   Определение 1. Пусть {nk } — строго возрастающая
последовательность натуральных чисел. Тогда последова-
тельность {ank } = {ank }∞
                         k=1 называется подпоследователь-
ностью последовательности {an } = {an }∞  n=1 .
   Пример. Последовательность 1, 3, 5, 7, . . . является
подпоследовательностью последовательности натуральных
чисел, а последовательность 1, 5, 3, 9, 7, . . . не является
подпоследовательностью натуральных чисел.

Страницы