Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

58 Глава 4. Непрерывные функции
Лемма. Пусть функция f: X → Y
f
строго монотонна
на X. Тогда обратная функция f
−1
: Y
f
→ X также строго
монотонна.
Д о к а з а т е л ь с т в о очевидно.
Упражнение 1. Показать, что графики f и f
−1
сим-
метричны относительно прямой y = x.
Теорема 1. Пусть функция f: [a, b] → R задана на
отрезке [a, b], строго возрастает и непрерывна.
Тогда обратная функция задана на отрезке [A, B] =
=
min
[a,b]
f, max
[a,b]
f
, строго возрастает и непрерывна.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Найдем область значений Y
f
функции f. Поскольку A 6 f(x) 6 B ∀x ∈ [a, b], то Y
f
⊂
⊂ [A, B]. C другой стороны, по теореме Больцано–Коши
для ∀C ∈ [A, B] ∃c ∈ [a, b]: f(c) = C, так что [A, B] ⊂ Y
f
.
Следовательно, Y
f
= [A, B].
Строгое возрастание f
−1
следует из леммы.
Установим непрерывность f
−1
. Пусть сначала y
0
∈
∈ (A, B), так что x
0
= f
−1
(y
0
) ∈ (a, b). Пусть ε > 0 столь
мало, что
[x
0
− ε, x
0
+ ε] ⊂ [a, b].
x
y
0
2δ
x
0
+ ε
y
2
x
0
− ε
y
1
x
0
y
0
a
A
b
B
Рис. 4.1
58                   Глава 4. Непрерывные функции

   Лемма. Пусть функция f : X → Yf строго монотонна
на X. Тогда обратная функция f −1 : Yf → X также строго
монотонна.

   Д о к а з а т е л ь с т в о очевидно.
   Упражнение 1. Показать, что графики f и f −1 сим-
метричны относительно прямой y = x.

   Теорема 1. Пусть функция f : [a, b] → R задана на
отрезке [a, b], строго возрастает и непрерывна.
  Тогда обратная     функция задана на отрезке [A, B] =
= min f, max f , строго возрастает и непрерывна.
     [a,b]   [a,b]

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Найдем область значений Yf
функции f . Поскольку A 6 f (x) 6 B ∀ x ∈ [a, b], то Yf ⊂
⊂ [A, B]. C другой стороны, по теореме Больцано–Коши
для ∀ C ∈ [A, B] ∃ c ∈ [a, b]: f (c) = C, так что [A, B] ⊂ Yf .
Следовательно, Yf = [A, B].
   Строгое возрастание f −1 следует из леммы.
   Установим непрерывность f −1 . Пусть сначала y0 ∈
∈ (A, B), так что x0 = f −1 (y0 ) ∈ (a, b). Пусть ε > 0 столь
мало, что
                     [x0 − ε, x0 + ε] ⊂ [a, b].
               y
              B

              y2

              y0      2δ
              y1
              A

                0     a     x0 − ε x0 x0 + ε   b    x
                              Рис. 4.1

Страницы