Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

60 Глава 4. Непрерывные функции
Применяя к сужению f
[x
1
,x
2
]
функции f на отрезок
[x
1
, x
2
] теорему Больцано–Коши о промежуточном значе-
нии непрерывной функции, получаем, что
∃x
0
∈ [x
1
, x
2
] : f(x
0
) = y
0
.
Таким образом, (2) установлено.
Из (1), (2) следует, что f(a, b) = (A, B).
Остается показать, что обратная функция f
−1
непре-
рывна в каждой точке y
0
∈ (A, B). Это делается так же,
как в теореме 1. Теорема доказана.
Аналогично формулируется вариант теоремы 2 для
строго убывающей функции, а также варианты теоремы
об обратной функции для полуинтервалов.
§ 4.6. Показательная функция
Буквами r, ρ с индексами будем обозначать рациональ-
ные числа. Число a > 0.
Будем считать известными следующие свойства пока-
зательной функции a
r
рационального аргумента r.
1.
◦
r
1
< r
2
⇒ a
r
1
< a
r
2
при a > 1, a
r
1
< a
r
2
при 0 < a <
< 1;
2.
◦
a
r
1
a
r
2
= a
r
1
+r
2
;
3.
◦
(a
r
1
)
r
2
= a
r
1
r
2
;
4.
◦
a
0
= 1;
5.
◦
(ab)
r
= a
r
b
r
.
Из этих свойств следует, что
a
−r
a
r
= a
0
= 1 ⇒ a
−r
=
1
a
r
⇒ a
r
> 0 ∀r. (1)
Лемма (Бернулли). Пусть a > 1, r — рациональное
число, |r| 6 1. Тогда
|a
r
− 1| 6 2|r|(a − 1). (2)
60             Глава 4. Непрерывные функции

     Применяя к сужению f[x1 ,x2 ] функции f на отрезок
[x1 , x2 ] теорему Больцано–Коши о промежуточном значе-
нии непрерывной функции, получаем, что
                ∃ x0 ∈ [x1 , x2 ] : f (x0 ) = y0 .
Таким образом, (2) установлено.
   Из (1), (2) следует, что f (a, b) = (A, B).
   Остается показать, что обратная функция f −1 непре-
рывна в каждой точке y0 ∈ (A, B). Это делается так же,
как в теореме 1. Теорема доказана.
   Аналогично формулируется вариант теоремы 2 для
строго убывающей функции, а также варианты теоремы
об обратной функции для полуинтервалов.

           § 4.6. Показательная функция
   Буквами r, ρ с индексами будем обозначать рациональ-
ные числа. Число a > 0.
   Будем считать известными следующие свойства пока-
зательной функции ar рационального аргумента r.
    1.◦ r1 < r2 ⇒ ar1 < ar2 при a > 1, ar1 < ar2 при 0 < a <
        < 1;
    2.◦ ar1 ar2 = ar1 +r2 ;
    3.◦ (ar1 )r2 = ar1 r2 ;
    4.◦ a0 = 1;
    5.◦ (ab)r = ar br .
   Из этих свойств следует, что
                                 1
   a−r ar = a0 = 1 ⇒ a−r = r ⇒ ar > 0 ∀ r. (1)
                                 a

   Лемма (Бернулли). Пусть a > 1, r — рациональное
число, |r| 6 1. Тогда
                   |ar − 1| 6 2|r|(a − 1).               (2)

Страницы