Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4.7. Логарифмическая и степенная функции 65
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a > 1. Тогда A =
= inf
(−∞,+∞)
a
x
= 0, B = sup
(−∞,+∞)
a
x
= +∞.
В самом деле, a
n
= (1 + α)
n
> 1 + nα → +∞, a
−n
<
<
1
1 + nα
→ 0 (n → ∞).
Остается воспользоваться теоремой об обратной функ-
ции.
Случай 0 < a < 1 рассматривается аналогично.
Из того, что показательная и логарифмическая функции
являются взаимно обратными, вытекают тождества
a
log
a
x
= x, log
a
a
x
= x.
Установим некоторые свойства логарифмической функ-
ции.
1
◦
. log
a
xy = log
a
x + log
a
y, x, y > 0. Сравним a
log
a
xy
=
= xy и a
log
a
x+log
a
y
= a
log
a
x
a
log
a
y
= xy. Из их совпадения
следует 1
◦
(объяснить, почему).
2
◦
. log
a
x
α
= α log
a
x, x > 0, α ∈ R. Сравним a
log
a
x
α
=
= x
α
и a
α·log
α
x
= (a
log
a
x
)
α
= x
α
. Из их совпадения следует
2
◦
.
3
◦
. log
a
b · log
b
a = 1, a > 0, b > 0, a 6= 1, b 6= 1. Сравним
a
log
a
b·log
b
a
= (a
log
a
b
)
log
b
a
= b
log
b
a
= a и a
1
= a. Из их
совпадения следует 3
◦
.
Определение. Пусть α ∈ R. Функция x → x
α
:
(0, +∞) → (0, +∞) называется степенной функцией с по-
казателем степени α.
Степенную функцию можно представить в виде
x
α
= (e
ln x
)
α
= e
α ln x
.
По теореме о непрерывности суперпозиции непрерыв-
ных функций степенная функция непрерывна на области
определения (0, +∞).
При α > 0 степенную функцию доопределяют в точке
0 значением 0. Тогда она становится непрерывной на
[0, +∞).
         § 4.7. Логарифмическая и степенная функции              65

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a > 1.        Тогда A =
=    inf ax = 0, B = sup ax = +∞.
    (−∞,+∞)               (−∞,+∞)
   В самом деле,     = (1 + α)n > 1 + nα → +∞, a−n <
                     an
     1
< 1 + nα → 0 (n → ∞).
   Остается воспользоваться теоремой об обратной функ-
ции.
   Случай 0 < a < 1 рассматривается аналогично.
   Из того, что показательная и логарифмическая функции
являются взаимно обратными, вытекают тождества
                  aloga x = x,       loga ax = x.
     Установим некоторые свойства логарифмической функ-
ции.
     1◦ . loga xy = loga x + loga y, x, y > 0. Сравним aloga xy =
= xy и aloga x+loga y = aloga x aloga y = xy. Из их совпадения
следует 1◦ (объяснить, почему).
                                                                 α
     2◦ . loga xα = α loga x, x > 0, α ∈ R. Сравним aloga x =
= xα и aα·logα x = (aloga x )α = xα . Из их совпадения следует
2◦ .
     3◦ . loga b · logb a = 1, a > 0, b > 0, a 6= 1, b 6= 1. Сравним
aloga b·logb a = (aloga b )logb a = blogb a = a и a1 = a. Из их
совпадения следует 3◦ .
    Определение. Пусть α ∈ R. Функция x → xα :
(0, +∞) → (0, +∞) называется степенной функцией с по-
казателем степени α.
    Степенную функцию можно представить в виде
                      xα = (eln x )α = eα ln x .
    По теореме о непрерывности суперпозиции непрерыв-
ных функций степенная функция непрерывна на области
определения (0, +∞).
    При α > 0 степенную функцию доопределяют в точке
0 значением 0. Тогда она становится непрерывной на
[0, +∞).

Страницы