Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4.9. Некоторые замечательные пределы 69
5
◦
. lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e. Покажем сначала, что
lim
x→0+0
(1 + x)
1
x
= e. (2)
Напомним, что lim
n→∞
1 +
1
n
n
= lim
n→∞
1 +
1
n
n+1
= e и что
при доказательстве этого было установлено, что последо-
вательность
1 +
1
n
n+1
убывающая.
Пусть 0 < x < 1, n
x
∈ N,
1
n
x
+ 1
< x 6
1
n
x
. Тогда
1 +
1
n
x
+ 1
−2
1 +
1
n
x
+ 1
n
x
+2
=
1 +
1
n
x
+ 1
n
x
6
6 (1 + x)
1
x
6
1 +
1
n
x
n
x
+1
. (3)
Правая часть неравенства является, как лег ко проверить,
монотонной функцией x. Поэтому
∃ lim
x→0+0
1 +
1
n
x
n
x
+1
= lim
n→∞
1 +
1
n
n+1
= e.
Обоснование первого из этих равенств состоит в том,
что если функция f имеет предел lim
x→0+0
f(x), то он совпа-
дает с пределом lim
n→∞
f(x
n
) для произвольной последова-
тельности {x
n
}: x
n
→ 0 + 0. В нашем случае {x
n
} =
n
1
n
o
.
Итак, показано, что правая часть (3) стремится к e при
x → 0 + 0.
Аналогично показывается, что левая часть (3) также
стремится к e.
Переходя к пределу в неравенствах (3), получаем (2).
Покажем, что
lim
x→0−0
(1 + x)
1
x
= e. (4)
         § 4.9. Некоторые замечательные пределы          69
                 1
   5◦ . lim (1 + x) x = e. Покажем сначала, что
       x→0
                                  1
                      lim (1 + x) x = e.                (2)
                     x→0+0
                           n            n+1
Напомним, что lim 1 + n   1              1
                               = lim 1 + n      = e и что
              n→∞                n→∞
при доказательстве
                  этогобыло установлено, что последо-
                     n+1
вательность    1+ n1         убывающая.

   Пусть 0 < x < 1, nx ∈ N, n 1+ 1 < x 6 n1x . Тогда
                             x
           −2            nx +2               nx
       1               1                      1
  1+              1+              = 1+                6
     nx + 1          nx + 1               nx + 1
                                              1 nx +1
                                               
                                   1
                         6 (1 + x) x 6 1 +            . (3)
                                             nx
Правая часть неравенства является, как легко проверить,
монотонной функцией x. Поэтому
                   1 nx +1             1 n+1
                                      
     ∃ lim     1+          = lim 1 +         = e.
       x→0+0      nx        n→∞        n
   Обоснование первого из этих равенств состоит в том,
что если функция f имеет предел lim f (x), то он совпа-
                                      x→0+0
дает с пределом lim f (xn ) для произвольной последова-
                  n→∞                              n o
                                                    1 .
тельности {xn }: xn → 0 + 0. В нашем случае {xn } = n
   Итак, показано, что правая часть (3) стремится к e при
x → 0 + 0.
   Аналогично показывается, что левая часть (3) также
стремится к e.
   Переходя к пределу в неравенствах (3), получаем (2).
   Покажем, что
                                  1
                      lim (1 + x) x = e.                (4)
                     x→0−0

Страницы