Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

88 Глава 6. Свойства дифференцируемых функций
Тогда справедлива формула конечных приращений Коши:
∃ξ ∈ (a, b) :
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
=
f
0
(ξ)
g
0
(ξ)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим сначала, что g(b) 6=
6= g(a), так как иначе в силу теоремы Ролля g
0
должна
была бы обращаться в нуль в некоторой точке (a, b), что
противоречит условию 3
◦
.
Пусть F(x) = f(x) − λg(x), x ∈ [a, b]. Выберем λ так,
чтобы F(a) = F (b), т. е. f(a)−λg(a) = f(b)−λg(a). Отсюда
λ =
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
.
При выбранном таким образом λ, функция F удовле-
творяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, ∃ξ ∈
∈ (a, b): F
0
(ξ) = 0. Последнее равенство переписывается в
виде
f
0
(ξ) − λg
0
(ξ) = 0, т. е.
f
0
(ξ)
g
0
(ξ)
= λ,
откуда и следует утверждение теоремы.
Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы
Коши, когда g(x) = x.
Упражнение 2. Можно ли доказать теорему Коши,
написав формулы конечных приращений Лагранжа для
функции f и для функции g и поделив почленно первую
на вторую?
§ 6.2. Формула Тейлора
Будем считать, в этом параграфе, что n ∈ N, хотя не-
которые утверждения сохраняются и для n = 0.
Пусть ∃f
(n)
(x
0
). Тогда в некоторой окрестности U(x
0
)
можно написать равенство
f(x) =
n
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
+ r
n
(f, x) = P
n
(f, x) + r
n
(f, x),
(1)
88        Глава 6. Свойства дифференцируемых функций

Тогда справедлива формула конечных приращений Коши:
                           f (b) − f (a)  f 0 (ξ)
            ∃ ξ ∈ (a, b) :               = 0      .
                           g(b) − g(a)    g (ξ)
    Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим сначала, что g(b) 6=
6= g(a), так как иначе в силу теоремы Ролля g 0 должна
 была бы обращаться в нуль в некоторой точке (a, b), что
 противоречит условию 3◦ .
    Пусть F (x) = f (x) − λg(x), x ∈ [a, b]. Выберем λ так,
 чтобы F (a) = F (b), т. е. f (a)−λg(a) = f (b)−λg(a). Отсюда
                                  f (b) − f (a)
                             λ=                 .
                                   g(b) − g(a)
    При выбранном таким образом λ, функция F удовле-
 творяет условиям теоремы Ролля. Следовательно, ∃ ξ ∈
∈ (a, b): F 0 (ξ) = 0. Последнее равенство переписывается в
виде
                                                  f 0 (ξ)
               f 0 (ξ) − λg 0 (ξ) = 0, т. е.              = λ,
                                                  g 0 (ξ)
откуда и следует утверждение теоремы.
    Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы
Коши, когда g(x) = x.
    Упражнение 2. Можно ли доказать теорему Коши,
написав формулы конечных приращений Лагранжа для
функции f и для функции g и поделив почленно первую
на вторую?

                  § 6.2. Формула Тейлора
    Будем считать, в этом параграфе, что n ∈ N, хотя не-
которые утверждения сохраняются и для n = 0.
    Пусть ∃ f (n) (x0 ). Тогда в некоторой окрестности U (x0 )
можно написать равенство
         n
        X   f (k) (x0 )
f (x) =                 (x − x0 )k + rn (f, x) = Pn (f, x) + rn (f, x),
                k!
        k=0
                                                                    (1)

Страницы