Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

90 Глава 6. Свойства дифференцируемых функций
где x
0
< ξ < x.
По предположению индукции r
n−1
(f
0
, ξ) = o((ξ −
− x
0
)
n−1
) = o((x − x
0
)
n−1
) при x → x
0
. Следовательно,
r
n
(f, x) = o((x − x
0
)
n
) при x → x
0
.
что и требовалось показать.
Теорема 2 (формула Тейлора с остаточным чле-
ном в форме Лагранжа). Пусть x > x
0
(x < x
0
), n ∈
∈ N
0
, f
(n)
непрерывна на отрезке [x
0
, x] ([x, x
0
]), ∃f
(n+1)
на
интервале (x
0
, x) ((x, x
0
)). Тогда справедлива формула (1),
в которой
r
n
(f, x) =
f
(n+1)
(x
0
+ θ(x −x
0
))
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
=
=
f
(n+1)
(ξ)
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
,
где 0 < θ < 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о будем проводить по индукции,
считая x > x
0
. При n = 0 теорема утверждает, что при
некотором θ ∈ (0, 1)
f(x) = f(x
0
) + f
0
(x
0
+ θ(x −x
0
))(x − x
0
).
Это утверждение верно, так как оно совпадает с доказанной
ранее формулой конечных приращений Лагранжа.
Предположим, что утверждение верно при n − 1 (> 0)
вместо n и установим, что оно верно тогда в приведенном
виде. Используя теорему Коши о среднем и лемму, имеем
(считая для определенности x > x
0
)
r
n
(f, x)
(x − x
0
)
n+1
=
r
n
(f, x) − r
n
(f, x
0
)
(x − x
0
)
n+1
− (x
0
− x
0
)
n+1
=
=
r
n−1
(f
0
, ξ)
(n + 1)(ξ − x
0
)
n
=
(f
0
)
(n)
(η)
(n + 1)n!
=
f
(n+1)
(η)
(n + 1)!
,
где x
0
< η < ξ < x, а предпоследнее равенство написано в
силу предположения индукции.
90       Глава 6. Свойства дифференцируемых функций

где x0 < ξ < x.
   По предположению индукции rn−1 (f 0 , ξ) = o((ξ −
− x0 )n−1 ) = o((x − x0 )n−1 ) при x → x0 . Следовательно,
              rn (f, x) = o((x − x0 )n ) при x → x0 .
что и требовалось показать.
   Теорема 2 (формула Тейлора с остаточным чле-
ном в форме Лагранжа). Пусть x > x0 (x < x0 ), n ∈
∈ N0 , f (n) непрерывна на отрезке [x0 , x] ([x, x0 ]), ∃ f (n+1) на
интервале (x0 , x) ((x, x0 )). Тогда справедлива формула (1),
в которой
              f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
rn (f, x) =                             (x − x0 )n+1 =
                       (n + 1)!
                                              f (n+1) (ξ)
                                          =               (x − x0 )n+1 ,
                                               (n + 1)!
где 0 < θ < 1.
   Д о к а з а т е л ь с т в о будем проводить по индукции,
считая x > x0 . При n = 0 теорема утверждает, что при
некотором θ ∈ (0, 1)
          f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 + θ(x − x0 ))(x − x0 ).
Это утверждение верно, так как оно совпадает с доказанной
ранее формулой конечных приращений Лагранжа.
   Предположим, что утверждение верно при n − 1 (> 0)
вместо n и установим, что оно верно тогда в приведенном
виде. Используя теорему Коши о среднем и лемму, имеем
(считая для определенности x > x0 )
  rn (f, x)        rn (f, x) − rn (f, x0 )
             =                              =
(x − x0 )n+1   (x − x0 )n+1 − (x0 − x0 )n+1
                    rn−1 (f 0 , ξ)     (f 0 )(n) (η)   f (n+1) (η)
                   =               n
                                     =               =             ,
                 (n + 1)(ξ − x0 )      (n + 1)n!        (n + 1)!
где x0 < η < ξ < x, а предпоследнее равенство написано в
силу предположения индукции.

Страницы