Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 94 стр.

94         Глава 6. Свойства дифференцируемых функций

   З а м е ч а н и е. Формулу Тейлора в случае x0 = 0
называют еще формулой Маклорена.

         § 6.3. Раскрытие неопределенностей
                 по правилу Лопиталя
                                                             f (x)
   Пусть в задаче о нахождении предела отношения g(x)
при x → x0 и числитель и знаменатель стремятся к нулю
или оба стремятся к бесконечности. В этих случаях го-
ворят, что мы имеем дело с неопределенностью соответ-
ственно вида 00 или ∞
                    ∞ . Нахождение этого предела (если
он существует) называют раскрытием неопределенности.
Одним из приемов раскрытия неопределенности является
выделение главных частей числителя и знаменателя. Здесь
будет обоснован другой способ, называемый правилом Ло-
питаля и состоящий в том, что вычисление предела отно-
шения функций заменяется вычислением предела отноше-
ния их производных.

     Теорема 1. Пусть функции f , g
     1.◦ дифференцируемы на интервале (a, b), b − a < ∞;
     2.◦ lim f (x) = lim g(x) = 0;
        x→a+0            x→a+0
     3.◦ g 0 6= 0 на (a, b);
                               f 0 (x)
   4.◦ существует lim g 0 (x) ∈ R.
                 x→a+0
Тогда
                      f (x)         f 0 (x)
              ∃ lim         = lim 0         .
                x→a+0 g(x)    x→a+0 g (x)

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Доопределим f , g, положив
f (a) = g(a) = 0. Тогда f , g непрерывны на [a, b). По
теореме Коши о среднем
         f (x)   f (x) − f (a)  f 0 (ξ)
               =               = 0      ,   a < ξ < x < b.
         g(x)    g(x) − g(a)    g (ξ)